Механика

МеханикаМеханика. Наш обзор, естественно, должен начаться с механики. Путь развития этой отрасли физики был намечен Ньютоном. Задача посленьютоновской механики сводилась к анализу исходных понятий и принципов и к разработке аналитического аппарата в целях его наилучшей приспособленности к решению конкретных задач, круг которых расширился.

Одним из основных понятий ньютоновской механики было понятие силы, связанное с возникновением, уничтожением и изменением механического движения. Напомним, что сила у Ньютона измеряется количеством движения, появившимся или исчезнувшим за единицу времени. При этом за меру количества движения Ньютон принимает величину mv, введённую ещё Декартом (с тем, однако, отличием, что Декарт не принимал во внимание направленности величины mv). Введение этой меры давало возможность связать новое определение со старым статическим, основанным на измерении деформации, и установить связь второго и третьего законов. Плодотворность этой меры нашла своё выражение в замечательных достижениях ньютоновской механики. Однако Лейбниц в 1686 г. поместил в «Acta eruditorum» статью «Краткое доказательство ошибки достопамятного Декарта и других касательно закона природы, благодаря которому бог желает сохранять всегда количества движения теми же», положившую начало знаменитому спору о двух мерах движения.

Лейбниц считает, что движения, получающиеся при падении различных грузов с различных высот, одинаковы, если произведение веса на высоту одно и то же. В самом деле, деформации, например пружины, производимые такими упавшими грузами, будут одинаковы. Но, как было установлено ещё Галилеем, высоты падения будут пропорциональны квадрату скорости, развиваемой телом в конце падения. Поэтому Лейбниц считает, что истинная мера движения должна быть пропорциональна mv2. В работе 1695 г. Лейбниц предлагает разделить силы на два класса — «мёртвые» (статические) и «живые» (кинетические). Деформация, которую производит покоящийся груз, действительно пропорциональна количеству движения mv, создаваемому за 1 секунду, при падении груза из состояния покоя. «Живые» силы измеряются величиной mv2, уничтожаемой на каждой единице пути. В споре о мерах движения приняли участие выдающиеся физики и философы XVIII в. Точку зрения Лейбница защищали И. Бернулли, Герман, картезианскую — Папин, Меранн, Кларк. Первый этап спора закончился предисловием Даламбера к его «Трактату механики», который показал формальную эквивалентность обеих мер. Пусть тело массой m, движущееся со скоростью v, тормозится некоторой силой f. Что следует принять за меру исчезнувшего движения? Торможение осуществляется на определённом отрезке S за определённый промежуток t. Сила f может быть выражена как через изменение движения на единице пути, так и через изменение движения за единицу времени. В первом случае движение должно измеряться величинои mv2, во втором — величиной

197Современный школьник, решая задачи механики, следует рецепту Даламбера, когда выбирает между законом сохранения кинетической энергии или законом сохранения количества движения. Однако Даламбер ещё не мог дать полного решения проблемы. Потребовалось открытие закона сохранения энергии и философский анализ Энгельса, чтобы внести полную ясность в знаменитый спор о двух мерах движения. Энгельс был прав, когда писал, что «Даламбер мог бы не утруждать себя тирадами о неясности воззрений своих предшественников, ибо его собственные взгляды были столь же неясны. И действительно, в этом вопросе должна была оставаться неясность, пока не знали, что делается с уничтожающимся как будто механическим движением».

Значительно больших успехов достигла механика в анализе и формулировке её исходных принципов. В статике Вариньон (1664—1722) вывел старый принцип рычага из нового принципа параллелограмма сил («Новая механика», 1725 г.). В той же механике Вариньона содержалось письмо И. Бернулли, в котором излагался принцип возможных скоростей. В частных случаях этот принцип уже применялся и Стевином, и Галилеем, и Паскалем, но теперь ставился вопрос о возможности обоснования всей статики с помощью этого принципа. Эго и было сделано Лагранжем в его знаменитой «Аналитической механике», вышедшей в 1788 г. Лагранжева формулировка принципа гласит: «Если какая-либо система, состоящая из любого числа тел или точек и подверженная действию каких-либо сил тяги или движения, находится в равновесии, и системе этой сообщается какое-либо незначительное движение, вследствие которого каждая точка пробегает бесконечно малое пространство (виртуальная скорость), то сумма произведений из сил, приложенных ко всякой данной точке, на величину перемещения точек в направлении силы всегда равна нулю; при этом предполагается, что перемещения, происходящие в направлении силы, имеют положительный знак, а в обратном отрицательный». Принцип этот может быть выражен аналитически следующей формулой. Пусть р, q, г, s, … — точки рассматриваемой системы, а Р, Q, R, S соответственно представляют силы, действующие на эти точки. Пусть далее dp, dq, dr, ds, … —проекции возможных перемещений точек на направления соответствующих сил. Тогда условие равновесия выразится так: для любого возможного перемещения Pdp + Qdq + Rdr + Sds + .. . = 0.

198При этом возможным, или виртуальным, перемещением называется перемещение, дозволяемое связями, действующими в системе. С помощью этого принципа Лагранж свёл решение задач статики к чисто вычислительным операциям и с гордостью заявлял, что в его книге нет ни одного чертежа. Эта эволюция математических методов физики от геометрических ньютоновских до аналитических лагранжевых составляет характерную особенность развития теоретической физики XVIII в., и мы рассмотрим её несколько подробнее. Но сначала рассмотрим простой пример, иллюстрирующий принцип возможных перемещений, — пример, разобранный ещё Стевином и который сыграл большую роль в обосновании принципа Лагранжем. Мы имеем в виду так называемый полиспаст 1-го рода или тали. Эта механическая система состоит из пары обойм — неподвижной и подвижной. Каждая из обойм несёт на общей оси определённое число блоков, допустим n. Подвижная обойма (рис. 138) несёт груз Р.

Система оснащивается гибкой нерастяжимой нитью следующим образом: конец нити прикрепляется к точке А подвижной обоймы, и нить, обвив её первый блок, обвивает далее первый блок неподвижной обоймы, затем второй блок подвижной обоймы и т. д. К концу нити, обвившей последний n-й блок неподвижной обоймы, приложена сила Q. Требуется (в предположении невесомости обойм, блоков и нити) найти условие равновесия системы при совместном действии сил Р и Q. Сообщим точкам приложения этих сил возможные малые перемещения в направлении сил Р и Q. Эти перемещения будут — dp (противоположное по направлению Р) и dq.

По принципу возможных перемещений

199Ввиду нерастяжимости нити dq = ndp и, следовательно, P/Q = n.
Таково известное условие равновесия полиспаста. Этим условием и воспользовался Лагранж для обоснования принципа. Представим себе, что на систему точек р, q, r … действуют силы Р, Q, R…, имеющие общую меру A1, так что

Р = к A, Q = ℓ

 А, R = mА.

В этом случае подходящим подбором блоков и полиспастов можно заменить всю систему сил грузом А (например, если на точку а действует сила Q = ℓА, то с помощью полиспаста, расположенного в направлении силы Q и обвитого верёвкой ℓ раз, мы можем уравновесить эту силу грузом A). Система при любом возможном перемещении остаётся в равновесии, если груз не поднимается, не опускается. Но при возможном перемещении dp под действием силы Р груз совершает перемещение kdp, при перемещении точки приложения силы Q на dq груз совершает перемещение ℓdq и т. д. Следовательно, груз не будет ни подниматься, ни опускаться, если алгебраическая сумма

kdp + ℓdq + mdr + . . . = 0  или  Akdp + Adq + Amdr + . . . = 0

А это и есть выражение принципа      Pdp + Qdq + Rdr +… = 0.

Разумеется, могут быть различные обоснования принципа, т. е. сведение его к более «простым» и наглядным постулатам, и суть дела заключается, как мы уже указали, в его аналитической плодотворности. Процесс внедрения анализа в механику, закончившийся тем, что со времён Лагранжа и Пуассона механика выделилась в самостоятельный отдел прикладной математики, был первым шагом на пути разделения физики по её методам на теоретическую и экспериментальную.

Важнейшую роль в создании теоретической физики сыграл Эйлер, который по сути дела является её основателем. Остановимся коротко на процессе возникновения теоретической физики.

200В 1716 г. вышла «Форономия» Германа (одного из первых петербургских академиков). Излагая статику по старому геометрическому методу, Герман при изложении кинематики использует анализ. В дальнейшем применением анализа к задачам механики с успехом занимались братья Яков и Иоганн Бернулли.

В частности они сформулировали первые вариационные задачи (задача о брахистохроне И. Бернулли, изопериметрическая задача Я. Бернулли). Но слава создания вариационного исчисления принадлежит опять-таки Эйлеру. Роль же вариационного исчисления в механике достаточно известна.

В 1736 г. в Петербурге вышла «Mechanica sive motus scinetia analy— tisa exposita» Эйлера. Эта «Аналитически представленная механика» явилась важной вехой в развитии теоретической физики. В этом труде Эйлер трактует скорость как вектор, вводит понятие геометрического приращения скорости, описывает движение в сопровождающей системе координат и проектирует ускорение на касательную и нормаль. Это была действительно аналитическая механика, в которой целый ряд задач был решён просто и изящно с помощью средств анализа.

Мы рассмотрим «Механику» Эйлера подробнее ввиду её важного исторического значения. Она состоит из двух томов, из которых в первом трактуется свободное движение точки, во втором — несвободное. Первая глава первого тома носит название «О движении вообще». Здесь Эйлер рассматривает основные понятия, связанные с движением. В первом определении движение тела представляется как его перемещение из одного места в другoe. В связи с этим возникает вопрос об относительности движения и, если можно так выразиться, его атрибутивности. Эйлер указывает, что место может быть занято только телом, потому, что «только о теле можно говорить, что оно движется или находится в покое». Таким образом, по Эйлеру, движение немыслимо без материального тела, совершающего это движение. «И это понятие движения и покоя настолько свойственно телу, что оно распространяется сплошь на все тела. Ведь ни одно тело не может существовать без того, чтобы двигаться или находиться в покое».

Эйлер принимает существование ньютонова абсолютного пространства. «Место есть часть неизмеримого или бесконечного пространства, в котором находится весь мир. Принятое в этом смысле место обычно называют абсолютным».

Эйлер полагает вытекающие отсюда определения абсолютного покоя и движения совершенно правильными и естественными, поскольку на них основываются законы механики Ньютона. «Но так как мы не можем выработать себе правильного понятия об этом неизмеримом пространстве и о его границах…, то вместо этого неизмеримого пространства и его границ обычно принимают во внимание конечное пространство и телесные границы, исходя из которых мы и будем судить о движении и о покое тел», т. е. на практике мы пользуемся относительными движениями и покоем. Абсолютное пространство, по Эйлеру, это математическая удобная абстракция. «Удобнее всего будет в конце концов договориться так, чтобы, отвлекаясь от окружающего места, мы представили себе бесконечное и пустое пространство и допустили, что в нём помещены тела».

Рассматривая ближе природу движения, безразлично абсолютного или относительного, Эйлер усматривает в качестве его характерного свойства — непрерывность, отстутствие скачков.

Предложение 1.

«Всякое тело, которое передвигается в другое место при помощи абсолютного или относительного движения, проходит через все средние места и не может из начального места перейти сразу в конечное». Если бы такой «качок произошёл, то это означало бы, что в первом месте движение уничтожилось и тотчас же в последнем месте вновь появилось, «чего не может быть по законам природы, если не будет чуда».

Эта постановка вопроса Эйлером чрезвычайно важна и характерна для классического анализа и естествознания. Здесь в явной форме выражен знаменитый тезис метафизического периода естествознания: «природа не делает скачков». Таким образом, Эйлер полностью выражает взгляды механического естествознания с его приматом непрерывности и допущением абсолютно пустого вместилища материального мира. Заслуга его заключается в том, что он формулирует эти представления чётко и ясно, указывая одновременно на трудности, связанные, например, с допущением абсолютного пространства. Вместе с тем примат непрерывности заставляет Эйлера относиться отрицательно к идее дальнодействия, являющегося по существу физическим скачком на расстояние. Но об этом ниже. Пока же мы можем резюмировать, что Эйлер защищает в качестве общих свойств механического движения его неотделимость от материальных тел и его непрерывность.

Далее в «Механике» Эйлер рассматривает абсолютное движение и покой. Абсолютный покой и абсолютное пространство существуют, как мы уже говорили, потому, что в природе имеет место принцип инерции и законы ньютоновой механики. «Тело, находящееся в состоянии абсолютного покоя, должно вечно пребывать в покое, если не получит побуждения к движению от внешней причины». Эта теорема у Эйлера доказывается ссылкой на принцип достаточного основания: покоящееся в бесконечном пустом пространстве тело не имеет достаточного основания к движению. Однако отсутствие достаточного основания само по себе не является единственной причиной пребывания тела в покое: «нет никакого сомнения, что в самой природе тела заложена причина этого явления». Закон инерции — закон абсолютный и, как легко можно убедиться на опыте, не имеет силы по отношению к покою относительному. Тела, находящиеся в состоянии относительного покоя, получают ускорение вместе с ускорением системы отсчёта. Далее, «если тело имеет абсолютное движение, то оно всегда будет двигаться равномерно, а также и раньше в любой момент времени его движение имело ту же скорость.— если только на него не действует или не действовала какая-либо внешняя причина». Кроме того (предложение 9), «тело, обладающее абсолютным движением, будет двигаться по прямой». Всё это Эйлер подтверждает ссылкой на отсутствие достаточного основания. Таким образом, абсолютное пространство обладает свойством однородности и изотропности. Закон не имеет силы для относительных движений: «если на тело не действуют никакие внешние причины, то надо считать, что оно может относительно двигаться неравномерно и в то же время абсолютно или находиться в покое или двигаться равномерно и прямолинейно. Отсюда некоторым образом можно понять, насколько отличается относительное состояние от абсолютного». Это «некоторым образом» связано с классическим принципом относительности: «Если пространство, относительно которого определяется относительное движение, пребывает в абсолютном покое или движется равномерно и прямолинейно, то указание закона о движении и покое будет иметь силу и при относительном состоянии тел». Такая равноправность всех инерциальных систем приводит к тому, что мы «не можем сделать большего заключения, чем то, что это тело находится или в абсолютном покое, или абсолютно движется равномерно и прямолинейно, но при этом мы не можем определить ни величины этого абсолютного движения, ни его направления». Но это последнее обстоятельство не имеет существенного значения для механики, «так как и относительное движение подчиняется тем же законам». Можно с одинаковым правом на практике пользоваться любой инерциальной системой.

Установив общие свойства движения, Эйлер переходит к исследованию его причин. Этому вопросу посвящена вторая глава первого тома «О действии сил на свободную точку». Ещё в первой главе Эйлер вводит понятие «силы инерции» (определение 9), причём этот термин Эйлера, по существу, равнозначен с «мерой инерции»: «зависящая от природы тел причина их сохранения, их состояния и есть то, что называется силой инерции». Это — внутреннее свойство тела, в то время как сила представляет собой внешнее воздействие. «Сила есть то усилие, которое переводит тело из состояния покоя в состояние движения или видоизменяет его движение» (определение 10). Эйлер в «Механике» занимает ещё осторожную позицию между ньютонианскими и картезианскими воззрениями. Во всех предыдущих определениях и предложениях он развивает идеи «Начал» Ньютона. Определение 10 также является формальным определением силы, и, подобно автору «Начал», Эйлер отказывается определённо высказаться: «имеют ли подобного рода силы своё происхождение в самих телах, или же они существуют в природе сами по себе». Но, «что бы там ни было, — прибавляет Эйлер, — мы с достаточной ясностью видим, что подобного рода силы (Речь идёт о силах тяготения и электрических и магнитных взаимодействиях, т. е. о силах, действующих на расстоянии.) могут получить своё начало из упругих тел и их вихрей», и обещает в своём месте реализовать эту картезианскую программу объяснения сил. И, действительно, в позднейших работах Эйлера, в «Теории движения» и особенно «Письмах к немецкой принцессе», Эйлер категорически высказывается против идеи самостоятельного существования сил и действий на расстояния и причину возникновения сил усматривает в инерции тел и их непроницаемости. В «Механике» же Эйлер ставит далее вопрос о мере сил и их математическом выражении. Прежде всего он устанавливает векторный характер силы, формулирует принцип суперпозиции сил, и затем, разобрав действие силы на движущуюся точку, приходит к выводу, что «результат действия силы на движущуюся точку двоякий. Во-первых, он заключается в изменении величины скорости, во-вторых, в изменении её направления». Этот принцип разложения силы Эйлер использует затем в главе о криволинейном движении для получения естественных уравнений движения точки. Здесь же он устанавливает, что две силы, действующие на точки разных масс, производят одинаковое действие, если q/p = b/a, где р — сила, действующая на точку массы a, q — сила, действующая на точку массы b. «Это предложение заключает в себе основы для измерения силы инерции, так как на нём основывается учение о том, как нужно учитывать материю или массу тел в механике. Следует обращать внимание на число точек, составляющих тело, которое должно быть, приведено в движение, и масса тела должна быть принятой пропорциональной этому числу. Эти точки надо считать равными между собой, но не так, что они равно малы, но так, что на них одна и та же сила производит равные действия. Если мы представим себе, что вся материя тела разделена на подобного рода равные точки или элементы, то количество материи каждого тела по необходимости надо будет измерять числом точек, из которых оно составлено». Так Эйлер расшифровывает сущность ньютоновского определения массы, основанного на атомическом принципе. «Два тела равны между собой в смысле количества материи, если они составлены из одинакового числа точек». Этот способ сравнения масс совпадает с общепринятым способом определения масс по весу. «На опытах доказано, что все тела в пустоте падают одинаково, и поэтому все они благодаря силе тяжести ускоряются одинаковым образом. Отсюда необходимо следует, что сила тяжести, действующая на отдельные тела, пропорциональна их количеству материи». Масса тел характеризуется их инерцией, как это вытекает из основного предложения о действии силы: «сила инерции каждого тела пропорциональна количеству материи, из которой оно состоит».

Резюмируя, можно сказать, что «Механика» Эйлера представляет собой ясное и популярное развитие ньютоновых «Начал», воспроизводя даже осторожные заявления их автора о природе сил и расшифровывая его определения основных понятий: пространства, времени, движения, массы, силы. Эйлер следует в своём изложении именно Ньютону, а не ньютонианцам, и в его труде (а особенно в последующих трудах) мы не находим и следа влияния Котса, если не считать отдельных высказываний в «Теории движения», явно заострённых против Котса и других, принимающих имматериальные силы. Можно констатировать, что с годами антиньютонианские тенденции Эйлера возрастали, и в этом отношении несомненно сказывается влияние Ломоносова.

Существенное значение «Механики» Эйлера заключается и в том, что она представляет переход от громоздких синтетических доказательств Ньютона к новым аналитическим методам. Для определения действия какой-либо силы, действующей на движущуюся точку под углом к её движению, Эйлер разлагает это действие на две составляющие: одну по направлению движения, другую — перпендикулярную скорости. Слагающая силы, перпендикулярная скорости, равна Ac2/R , где А — масса точки, с — её скорость, r — радиус кривизны. Для силы, действующей параллельно скорости, справедливо уравнение живых сил (не называемое Эйлером):   npds = acdc, где ds — элемент пути, пройденный движущейся точкой, р — величина силы, n — коэффициент пропорциональности, связанный с выбором единиц. Этот коэффициент в дальнейшем определяется из действия силы тяжести. Если величина силы тяжести g, то n = A/2g.
Эйлер полагает в качестве единицы силу веса, точнее говоря, принимает ускорение тела за единицу. В таком случае n = 1/2.
Рассмотрев таким образом вопрос о действии сил на свободную точку, Эйлер в третьей главе переходит к исследованию прямолинейного движения свободной точки при различных законах действия сил. Здесь Эйлер демонстрирует мощь новых математических методов, интегрируя дифференциальные уравнения второго порядка. При интеграции он широко пользуется теоремой живых сил — первым интегралом уравнения движения. В четвёртой главе Эйлер рассматривает ещё более трудные с математической стороны задачи «о прямолинейном движении точки в сопротивляющейся среде». Пятая и шестая главы посвящены криволинейному движению свободной точки в пустоте и сопротивляющейся среде. Здесь Эйлер выводит и использует «естественные уравнения движения», т. е. уравнения е сопровождающей системе координат. Глава эта имела самое близкое отношение к важным практическим задачам того времени, к задачам небесной механики и баллистики.

Во втором томе Эйлер исследует несвободное движение точки, рассматривая сначала вопрос «О несвободном движении вообще», т. е. о силах связи, затем о движении точки по данной линии в пустоте и в сопротивляющейся среде и, наконец, «о движении точки по данной поверхности».

В «Механике» Эйлера ещё решались задачи динамики точки. Но уже предшественники Эйлера, Бернулли решали задачи динамики системы. Динамика системы получила в рассматриваемый период общий принцип— принцип Даламбера. Когда Я. Бернулли решал задачу о центре качания физического маятника, он исходил из идеи, что результат действия связей, связывающих частицы маятника, состоит в потере ускорения одними частицами и приобретении ускорений другими. Его брат Иоганн в упомянутом уже письме к Вариньону от 24 января 1717 г., определив словом «энергия» произведение силы на проекцию смещения по направлению силы, высказывает утверждение, что в случае действия уравновешивающих »сил на систему точек сумма положительных энергий равна сумме отрицательных энергий.

В 1743 г. вышел «Трактат по динамике» Даламбера, где эти идеи доведены до общей формулировки знаменитого принципа.

Если в системе точек действует совокупность сил Fi и связи, то ускорение, получаемое каждой точкой, не совпадает с тем ускорением, какое получила бы точка под действием тех же сил, будучи свободной. Таким образом, часть движущей силы Fi «теряется» на преодоление сопротивлений связи.

204201Даламбер вводит термин «потерянные силы» для этой части сил и утверждает, что движение системы точек происходит таким образом, то в каждый момент времени потерянные силы и силы связи взаимно уравновешиваются. Это и является формулировкой принципа. Другим общим принципом, установленным в 1744 г., был принцип наименьшего действия, высказанный Мопертюи. Мопертюи исходил из теологических аргументов. Эйлер уточнил формулировку принципа и дал его два аналитических выражения:

202«Таким образом, — говорит Эйлер, откликаясь на спор о двух мерах движения, — ни те, кто полагает, что силы следует оценивать по самим скоростям, ни те, кто — по квадратам скоростей, не найдут здесь ничего неприемлемого».

В 1765 г. вышла «Теория движения твёрдых тел» Эйлера, составляющая третий том его «Механики». За время, прошедшее после выхода двух первых томов, многое изменилось. Развились и углубились, как в результате работ самого Эйлера, так и его знаменитых современников, новые математические методы, расширился круг механических задач. Наконец, серьёзную эволюцию испытали воззрения самого Эйлера в сторону большого приближения к картезианским позициям, в сторону повышения интереса к философским основам естествознания. Конечно, в такой эволюции сказалось возросшее влияние французских материалистов, но несомненно, что значительную роль сыграли и воззрения Ломоносова, с которым Эйлер находился в длительной переписке по узловым вопросам физических воззрений. К этому пункту мы ещё вернёмся впоследствии.

203Повышенный интерес Эйлера к общим основам естествознания находит своё выражение в обширном «Введении» к «Теории движения», состоящем из шести глав.

Здесь Эйлер рассматривает основные понятия движения. Попрежнему он вводит абсолютное пространство: «с помощью абстракции…мы должны мысленно удалить все тела, и уже то, что, по нашему представлению, после этого остаётся, мы называем пространством». Однако приближение к картезианству сказывается в усилении релятивизма: «о движении любого тела мы будем судить лишь на основании одного признака, а именно — относя, его к другим телам, расположенным по соседству с ним».

И далее. «На пороге механики нам не следует беспокоиться по поводу абсолютного покоя, о котором мы вообще не знаем, существует ли он и в каком именно виде: ведь мы в механике будем подвергать исследованию, лишь то, что мы постигаем с помощью наших чувств. Всюду, где у нас идёт речь о покое, наше представление о нем всегда связано с некоторым телом, по отношению к которому, согласно нашему определению, тело — или же, ещё лучше, точка — находится в покое».

«Таким образом, — продолжает Эйлер, — совершенно рушится то знаменитое различие между движением и покоем, которое философы обычно приводят как чрезвычайно существенное для тел, — если, конечно, исходить из относительности движения и покоя. Правда, философы возразят, что условия коренным образом изменяются, когда речь идёт об абсолютном движении и покое, но что представляют собой абсолютные движение и покой, этого они удовлетворительно определить не могут.

Если бы они пожелали вывести эти понятия из отношения к неподвижным звёздам, то от этого движение и покой не перестанут быть относительными: ведь в данном случае будет лишь то отличие от наших определений, что здесь предлагают иное, но всё же определённое тело, по отношению, к которому и устанавливаются покой или движение».

Этот пока что кинематический релятивизм Эйлера весьма близко примыкает к релятивизму Декарта, который не знает никакого неподвижного пустого пространства. Вспомним, что Декарт ссылался на то, что в его космогонии Земля неподвижна, ибо она неподвижна относительно увлекающего её вихря.

«После того как мы дали определение понятия места, опираясь при этом на наше чувственное восприятие, мы теперь встречаемся также с понятием времени, которое включается в понятие покоя и движения»… Однако «время протекает независимо от движения», и это даёт нам возможность установить меру времени. «Деление времени на часта не является, чисто умственной операцией, как обыкновенно утверждают те, который помещают время только в нашем сознании, не отделяя понятия времени от самого времени».

«В самом деле, — говорит Эйлер, — если бы время представляло бы собой не что иное, как последовательность наступающих друг за другом, явлений, и если бы вне нашего сознания не существовало никаких средств для измерения времени, то нам ничто не помешало бы при всяком движении считать равными те части времени, в течение которых проходятся, равные пути, так как они окажутся следующими друг за другом через равные промежутки. Следовательно, мы могли бы с одинаковым основанием рассматривать любое движение как равномерное. Однако сама природа вещей достаточно убедительно свидетельствует, что равномерное движение существенно отличается от неравномерного; следовательно, равенство промежутков времени, на котором это основывается, представляет собой нечто большее, чем содержание наших понятий. В силу этого следует прийти к выводу, что равенство времени имеет под собой определённое основание, находящееся вне нашего сознания; и, певидимому, мы скорее познаем его извне — из наблюдения над равномерным движением».

205Установив эти фундаментальные понятия, Эйлер в своей кинематике вновь возвращается к принципу непрерывности движения и в связи с ним даёт очень интересное толкование зеноновских «апорий» о движении.

«Когда мы говорим, что по истечении времени t наша точка находится в S, то это выражение допустимо лишь при условии, что мы от слова «находится» отделяем понятие о пребывании и задержке. В просторечии выражение «находиться на каком-либо месте» имеет обычно тот же смысл, что и «оставаться на месте», вследствие чего приобретает наибольшую доказательную силу против существования вообще какого-либо движения следующий старый софизм: «Когда тело движется, то оно движется на том месте, где оно находится». В действительности нельзя утверждать ни того, ни другого, и потому приходят к выводу, что тело вовсе не в состоянии двигаться. Первого, конечно, нельзя утверждать, если «на месте, где оно находится», означает то же самое, что «на месте, где оно пребывает, т. е, покоится». Если бы вместо слова «находится» поставить слово «проходит», то всякие затруднения были бы устранены, ибо там, где тело проходит оно, без сомнения, передвигается. Однако указанное выражение кажется недостаточно сильным, чтобы одновременно оттенить существование тела или точки в тот момент, когда оно или она проходит через S; и в то же время понятие существования, применённое к любому месту, повидимому, содержит в себе некоторый оттенок, который совершенно чужд движению.

Поэтому, если мы не хотим этой терминологией устранить вообще возможность какого-либо движения в природе, то мы должны остерегаться того, чтобы с выражением «быть, находиться или существовать в определённом месте» связывать представление о каком-либо «пребывании». Я буду пользоваться этим выражением только в том смысле, что оно будет означать лишь прохождение через какое-либо место и не более того, — если, конечно, тело находится в движении».

Мы видим, что в своей кинематике Эйлер занимает материалистическую позицию, приближаясь даже иногда к точке зрения диалектического материализма, как в этом последнем, приведённом нами высказывании. Но понятно, что материализм Эйлера — механический; и это особенно отчётливо выявляется в его динамике, где он вновь возвращается к ньютоновской концепции абсолютного пространства. Рассматривая внутренние начала движения, Эйлер вводит абстракцию «изолированная материальная точка». Эйлер указывает, что подобного рода абстракции необходимы: «если бы их запретить, не осталось бы путей к познанию истины». Для такой изолированной точки справедлив принцип инерции: она находится либо в абсолютном покое, либо в абсолютном равномерном и прямолинейном движении. Таким образом, свойства абсолютного пространства познаются постольку, поскольку справедлива механика Ньютона: «Всякий, кто склонен отрицать существование абсолютного пространства, придёт в величайшее смущение. В самом деле, вынужденный отбросить абсолютный покой и движение как пустые слова, лишённые смысла, он должен будет не только отбросить законы движения, покоящиеся на этом принципе, но и допустить, что вообще не может быть никаких законов движения».

Но Эйлер отступает от динамизма ньютонианцев в вопросе о внешних началах движения. «Причина, вследствие которой абсолютно покоящееся тело начинает двигаться, или же тело, находящееся в абсолютном движении, изменяет свою скорость либо направление, называется силой». «Сила является внешней причиной», так как тела сами по себе не могут изменять свое состояние. Но если инерция тела исключает возможность изменения состояния самого тела, то это не значит, что она не может быть причиной изменения состояния других тел. Наоборот, по Эйлеру, «именно из самой этой способности отдельных тел сохранять своё состояние следует, что в них должны заключаться силы изменять состояние других тел». Но, для того чтобы возникли такие силы, одной инерции недостаточно, необходимо, чтобы тела не могли проникать друг в друга.

«…»Причиной тех сил, вследствие которых изменяется состояние тел, следует считать не только инерцию, но сочетание последней с непроницаемостью». Отсюда, по Эйлеру, «образуется богатейший источник сил, способных непрерывно изменять состояние тел». Касаясь позиции ньютонианцев о существовании нематериального дальнодействия, Эйлер указывает, что «в задачи механики не входит решать, могут ли духи влиять на тела и изменять их состояние. Правда, в самих телах мы не находим ничего такого, что указывало бы на невозможность действия духов. Однако воздействие на тела не представляется столь тяжёлым делом, чтобы его следовало приписать только всемогуществу божественной воли, так как его приходится присвоить самым обычным телам». И хотя Эйлер считает, что у духов трудно оспорить их силу воздействия на тело, но «мы совершенно не в состоянии указать, каким именно образом они действуют». Что же касается самих тел, то они могут действовать только так, как это было указано выше, т. е. по началам непроницаемости и инерции. Иначе пришлось бы допустить некоторое действие на расстояние. «Нужно довольствоваться тем, что найден богатый источник действующих в мире сил. Вместе с тем совершенно ясно, что отсюда проистекает и взаимное действие тел, которое многие философы либо совершенно отрицали, либо оставляли в полном мраке».

Итак, Эйлер считает возможным изгнать из механики таинственное дальнодействие ньютонианцев, божественный толчок. Он указывает, что имеется богатый физический источник взаимодействий, если только протяжённую материю Декарта наделить свойствами инерции и непроницаемости.

Через три года в «Письмах» Эйлер будет с ещё большей настойчивостью и определённостью развивать эту мысль и решительно бороться против дальнодействия ньютонианцев и монадологии Вольфа—Лейбница.

Развивая аналитически понятия динамики, Эйлер пишет уравнения движения точки в декартовых координатах

206где P, Q, R — компоненты действующей силы.

Ещё в 1758 г. Эйлер установил понятие «момента инерции». Разбирая в «Теории движения» вопросы движения твёрдого тела, он установил, что главные оси инерции (те оси инерции, для которых момент инерции имеет экстремальное значение) совпадают со свободными осями вращения, написал уравнения движения твёрдого тела с неподвижной точкой, используемые и сегодня в теории гироскопов, и тем заложил основы этой теории.

Эйлер не только разрабатывал методы теоретической физики, но и стремился довести решение до практически полезных результатов. Задачей о движении Луны занимались такие выдающиеся математики, как Клеро (1713—1765), автор знаменитого сочинения о фигуре Земли, и Даламбер, но наибольшее практическое применение получила «Теория Луны» Эйлера (1753), на основе которой Тобий Майер составил лунные таблицы.

О большом интересе Эйлера к практическим проблемам свидетельствует сделанный им немецкий перевод с дополнениями сочинения Бенджамена Робинса (1707—1771) по артиллерии («Новые принципы артиллерии», Лондон, 1742 г.). Робине исследовал влияние сопротивления среды движению снаряда, т. е. занимался вопросами внешней баллистики. Так как это сопротивление во всяком случае является функцией скорости, то Робине разработал методику определения скорости снаряда в любой точке пути. Для этой цели он сконструировал баллистический маятник. Ему удалось, установить, что принятый Ньютоном закон сопротивления F = k• v2 справедлив только при относительно малых скоростях и с увеличением скорости сопротивление растёт быстрее, чем v2. Он нашёл также, что баллистическая кривая существенно отличается от параболы, и установил не симметричность её восходящей и нисходящей ветвей.

Эйлер перевёл сочинение Робинса под заглавием «Новые основы артиллерии с примечаниями Л. Эйлера»; в примечаниях он подробно разбирал движение снаряда в сопротивляющейся среде, применив методы приближённого интегрирования. В этих исследованиях Эйлер продолжил и дополнил работы Ньютона, так же как он это сделал в своих работах по небесной механике и в теории тяготения, где он нашёл для ряда случаев решение задачи о притяжении эллипсоида, поставленной Ньютоном. Исследования о притяжении эллипсоида, имеющие существенное значение для теории потенциала, были помещены в «Комментариях» Петербургской академии 1738—1746 гг.

Эти исследования, равно как и исследования по механике твёрдого тела, примыкают к общим исследованиям по механике сплошной среды, в которой Эйлер получил также фундаментальные результаты.

Эта область получила мощный импульс в XVIII в. Сюда в первую очередь относится «Гидродинамика» Даниила Бернулли (Страсбург, 1738 г.). В этом сочинении выводится знаменитое уравнение Бернулли, выражающее закон сохранения энергии в применении к стационарному движению идеальной несжимаемой жидкости. Из других результатов этого замечательного сочинения большое значение с исторической точки зрения имеет обоснование с кинетической точки зрения закона Бойля (р = nmc2/3), благодаря которому Бернулли по справедливости может считаться одним из основоположников кинетической теории газов.

В своих гидродинамических исследованиях (1752—1754) Эйлер пишет уравнения гидродинамики, известные под названием уравнений Эйлера. Им введена в гидродинамику функция s, которая ныне называется «потенциалом скоростей». Компоненты скорости движущейся частицы жидкости u, v, w выражаются через эту функцию, как частные производные по координатам

207При этом Эйлер нашёл, что функция s удовлетворяет уравнению

209Таким образом, основное уравнение теории потенциала — уравнение Лапласа Δ V = 0 — было впервые найдено Эйлером. Эйлер же в дальнейшем (1770)  ввёл и силовую функцию, отличающуюся от потенциальной только коэфициентом и знаком. Исследуя сопротивление жидкости движущемуся в ней телу, Эйлер нашёл закон «парадокс Эйлера»), согласно которому обтекаемое тело, движущееся равномерно в идеальной жидкости, не испытывает никакого сопротивления.

Научное наследство Эйлера огромно, и в кратком курсе изложение всех его результатов невозможно. Мы остановимся ещё только на исследованиях в области теории колебаний.

Изучая сопротивление опоры маятника, Эйлер рекомендовал опорную призму. Он начал изучение связанных колебаний, и известный опыт с связанными маятниками, иллюстрирующий переход энергии от одного к другому, принадлежит ему.

БернуллиИм выведены дифференциальные уравнения поперечных и продольных колебаний в упругих стержнях. Отсюда он перешёл к рассмотрению колебаний воздушных столбов. Колебания струны изучались Даламбером, нашедшим решение

210где ξ — смещение точки струны, а f1 и f2 — некоторые произвольные функции, и Д. Бернулли, написавшим закон стоячих колебаний в тригонометрической форме. Эйлер также в своих работах искал уравнения формы волны в верёвках и струнах методом разложения в тригонометрический ряд.

Акустика в XVIII в. достигла значительных успехов благодаря экспериментальным работам Совера (1653—1716), опубликованных в мемуарах Парижской академии 1700—1730 гг., и теоретическим исследованиям Эйлера. Совер дал метод определения чисел колебаний по биениям, доказал существование обертонов в звучащей струне и дал приёмы их возбуждения, ввёл термины «гармоника», «узлы», «пучности» и определил границы слышимости.

Эйлер дал математическую теорию консонанса. Гармоничные музыкальные интервалы, по Эйлеру, определяются простыми числовыми соотношениями чисел колебаний тонов («Новый опыт теории музыки», Петербург, 1739 г.). Отсюда он выводил: системы тонов (гамм), из которых одна почти точно совпадает с диатоническо-хроматической гаммой. Он же рассматривал вопросы распространения звука, сложения звуковых волн. О других работах Эйлера и его физических воззрениях мы скажем в связи с работами Ломоносова.

Лагранж завершил дело, начатое Эйлером, и своей «Аналитической механикой» окончательно упрочил новые аналитические методы в механике. Но следует помнить, что так называемые уравнения Лагранжа первого и второго рода были уже написаны Эйлером в его «Механике», «Теории движения твёрдых тел» и в гидродинамических работах. Таким образом, мы с полным правом можем назвать Эйлера истинным основателем теоретической физики.

На этом мы закончим рассмотрение развития механики в XVIII в., хотя наш обзор отнюдь не исчерпал всех результатов этой отрасли физики.