ЛОРАНА РЯД

ЛОРАНА РЯД — важное понятие теории функций комплексного переменного. Известно, что всякую аналитическую в точке z0 функцию (см.) f(z) можно представить в виде степенного ряда:

858который сходится в некотором круге (см. Абеля теоремы), т. е. надлежащий степенной ряд в некотором круге может задавать произвольную аналитическую в точке z0 функцию. Лорана ряд решает аналогичную задачу (представить аналитическую функцию) в более сложной, чем круг, области, именно в кольце. Под кольцом подразумевают множество точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству: z<|z — а|<R, (*) где z и R — действительные числа 0≤r<R≤∞, а — фиксированная точка комплексной плоскости. Имеет место теорема Лорана; всякая аналитическая в кольце (*) функция f(z) может быть единственным образом представлена в виде:

859Выражение, стоящее в правой части этой формулы, и называется Лорана рядом функции f(z) в кольце (*). Коэффициенты ак, bl, к, l=0, 1, 2 … вычисляются по формулам:

860Здесь интегрирование ведется по произвольной окружности γ, лежащей внутри кольца и имеющей центром точку а. Часть Лорана ряда

861называется правильной частью Лорана ряда, а ряд

862— главной частью Лорана ряда.
Областью сходимости Лорана ряда (**) является кольцо, быть может, более широкое, чем кольцо (*). Если область сходимости правильной части Лорана ряда (*) есть круг с центром в а и радиусом ρ1, а область сходимости главной части Лорана ряда есть множество точек, лежащих вне круга с центром а и радиусом ρ2 , то область сходимости Лорана ряда (*) есть кольцо 0 ≤ ρ2 < | z — а | < ρ1 ≤∞, причем R ≤ ρ1 , ρ2 ≤ r.
Важен частный случай Лорана ряда — разложение аналитической функции f(z) в Лорана ряд в окрестности ее изолированной особой точки (см.). Если главная часть такого разложения состоит из конечного числа слагаемых, то особая точка является полюсом (см.). Порядок полюса равен индексу последнего слагаемо в главной части Лорана ряда. Если же главная часть состоит из бесконечного числа слагаемых, то особая точка есть существенная особая точка. Коэффициент b1 в разложении в Лорана ряда функции f(z) в окрестности особой точки z0 называется вычетом (см.) функции /(г) в точке r0 . Значение вычета аналитической функции видно из следующей фундаментальной теоремы.
Если f(z) имеет конечное число особых точек в области, ограниченной замкнутым контуром γ, то интеграл γ∫f(z)dz  равен 2πi, умноженному на сумму вычетов функции f(z) во всех особых точках, лежащих внутри замкнутой кривой γ. В частности, если внутри γ нет особых точек функции f(z), то ∫γf(z)dz =0 (теорема Коши).
Примеры: 1) разложение функции

863в кольце 1 < |z|<2 в Лорана ряде таково:

864а в кольце 2 < |z| < +∞ записывается так:

8652) разложением функции еz в окрестности особой точки (здесь в кольце 0 < z < ∞) в Лорана ряде будет:

866Вычет е1/z в точке z=0 равняется 1.