ЛОБАЧЕВСКОГО МЕТОД

ЛОБАЧЕВСКОГО МЕТОД — метод приближенного нахождения корней алгебраических уравнений. Лобачевского метод состоит в следующем. Пусть требуется найти кории x1,x2, …,xn уравнения:

827С помощью указанных Лобачевским формул:

828строится многочлен:

829корни которого являются квадратами корней уравнения (*).
Продолжая этот процесс — квадрирование, строят многочлены f2 (х), f3(x) ит. д., где многочлен

830его корнями будут числа

831при этом коэффициенты ai(k+1) многочлена fk+1 (x) получаются возведением в квадрат коэффициентов ai(k) многочлена fk (x) т. е. имеет место приближенное равенство:

832в пределах устанавливаемой точности, следовательно, и корни многочлена f(х) могут быть найдены приближенно по тем же формулам:

833Знак корня определяется подстановкой в исходное уравнение. При этом предполагается, что корни действительны и различны и такие, что удовлетворяют условию:

834где знак » означает «значительно больше». При выводе формулы (**) используется зависимость (обобщенная теорема Виета) между корнями и коэффициентами уравнения. Нарушение отмеченной закономерности между корнями (когда корни по значению близки или комплексные) влечет за собой нарушение указанной аналогичной закономерности между коэффициентами.
Лобачевского метод может быть использован и для приближенного вычисления комплексных корней, хотя при этом вычисления усложняются, а действительные корни находятся по приближенной формуле (**).
Лобачевского метод был описан Лобачевским в его книге «Алгебра или исчисление конечных» (1834).
Лобачевского метод в литературе встречается как Греффе метод — по имени швейцарского математика К. Греффе, или Данделена метод — по имени бельгийского математика Ж. Данделена, открывших этот метод независимо от Лобачевского.