ЛИНЕИНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЛИНЕИНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — уравнения вида:

817Предполагается, что р0(х)≠0 . Если f(х)≡0, то уравнение называется однородным, если же f(х)≠0, то — неоднородным. Линейное однородное дифференциальное уравнение имеет n линейно-независимых решений. Если их обозначить y1,y2,··· ,yn , то общее решение будет иметь вид: у=С1у12у2 + ···+ Cnyn , где С1, С2, …, Сn — произвольные постоянные.  Линейно-независимые решения обладают тем свойством, что их вронскиан (см.) не обращается в нуль ни в одной точке. Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения.
Уравнение вида (*) можно легко решить( если коэффициенты постоянные. Рассмотрим сначала однородное уравнение:

818Составим характеристическое уравнение:

819Пусть λ1 , λ2, …, λn — различные корни характеристического уравнения. Тогда общее решение записывается так:

820где Qi (х) — произвольный многочлен степени на единицу меньшей кратности корня λ i . Если λ i — число комплексное (λ=α+βi), то вместо решения e(α±βi)x можно взять eαx  cos βx и еαx sin βх. Линейные неоднородные уравнения с правой частью вида Fm (х) eαx sin βх, где

Fm(х) — многочлен степени m, имеют частные решения вида:

821где s — кратность корня α+βi в характеристическом уравнении, а Qm (х) и Rm (х)  — многочлены степени m с неопределенными коэффициентами. В случае же произвольной правой части применяется другой метод — метод вариации произвольных постоянных, который состоит в том, что решение неоднородного уравнения ищут в виде у=С1у12у2 + ···+ Cnyn , где y1,y2,··· ,yn — линейно-независимые решения однородного уравнения, а С1, С2, …, Сn считаются функциями х.
В теории линейных дифференциальных уравнений наиболее полно изучено уравнение 2-го порядка. Большое число исследований посвящено также системам линейных уравнений. В теории уравнений с частными производными линейные уравнения занимают большое место. Это суть уравнения вида:822