ЛИНЕИНОЕ УРАВНЕНИЕ

ЛИНЕИНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее неизвестные (переменные) только в первой степени. Например, уравнение

814есть линейное уравнение с n неизвестными i≠0, i = 1, 2, …, n) . Если в уравнении (*) все коэффициенты аi = 0, i = 1,2, 3, …, n, но a1 ≠0, это уравнение принимает вид a1x = b или ах = b ( a1 = а), которое называется линейным уравнением с одним неизвестным. Совокупность нескольких линейных уравнений вида (*) относительно одних и тех же неизвестных называется системой линейных уравнений, которую можно записать в виде:

815Под решением систем.! (**) понимают всякую совокупность (набор) чисел а1, а2, …, аn , которые при подстановке вместо соответственно x1, х2,…,хn обращают все уравнения этой системы в тождества. Вопрос о разрешимости системы линейных уравнений (**) сводится к сравнению рангов (см.) двух матриц — основной А и расширенной В:

816Если ранги матриц А и В совпадают, то система линейных уравнений (**) совместна, если ранг матрицы В больше ранга матрицы A, то система линейных уравнений (**) несовместна (теорема Кронекера — Капелли).
Если все bi системы (**) равны нулю, то система линейных уравнений называется однородной. Если m=n, т. е. число уравнений системы равно числу неизвестных, то для нахождения решения системы уравнения (**) применяют правило Крамера (если определитель системы D≠0) или приближенные методы решения уравнений или решение системы уравнения находят на специальных машинах.
При исследовании системы линейных уравнений часто используют геометрические понятия (см. Вектор, Прямая, Плоскость, Линейный оператор). См. также Неопределенное уравнение.