ЛИ ГРУППА

ЛИ ГРУППА — группа, множество элементов которой есть многообразие (см.) аналитической структуры (см.) и групповые операции аналитичны в этой структуре. Например, с каждой точкой окружности (прямой или тора) можно связать единственное преобразование всей окружности (прямой, тора) в себя, переводящее некоторую фиксированную точку — единицу группы в данную. При этом указанное отображение аналитично (записывается аналитическими функциями в локальных координатах (см. Многообразие). Ли группа впервые изучалась в трудах норвежского математика Софуса Ли в связи с некоторыми задачами дифференциальных уравнений. В изучении Ли групп весьма важным и плодотворным оказался метод локального рассмотрения группы и введение алгебр Ли — более простого, чем Ли группа, математического объекта. Свойства алгебр Ли дают много сведений о Ли группе. Теория Ли группы имеет многочисленные и разнообразные приложения к математике и физике. Особое значение имеет теория Ли группы для геометрии вообще и геометрии однородных пространств в частности. Эрлангенская программа Клейна трактует геометрию как науку об изучении тех свойств фигур, которые не изменяются при заданной группе (обычно Ли группе) преобразований. На этом пути получены важные результаты. В теории относительности Эйнштейна огромную роль играет группа Лоренца, являющаяся Ли группой. Аппарат теории Ли группы и ее главы — теории представлений. Ли группа является мощным методом теории относительности. Теория Ли группы — бурно развивающаяся математическая дисциплина. Фундаментальные результаты этой теории получены Кил-лингом, С. Ли, Э. Картаном, Г. Вейлем и др. Труды советских математиков в области теории Ли группы получили всемирную известность. Крупные результаты получены А. И. Мальцевым и Л. С. Понтрягиным. См. также Непрерывные группы.