КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА

КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА — однородный полином второй степени

642Квадратичная форма характеризуется квадратной матрицей A=||аij||. При помощи линейного преобразования переменных х с комплексными коэффициентами квадратичная форма может быть приведена к виду:

643Если аij — вещественны, а линейные преобразования переменных х рассматриваются над полем действительных чисел, то квадратичная форма F приводится к виду:

644причем независимо от способа приведения F к этому виду количество положительных квадратов s остается неизменным (см. Инерции закон квадратичная форма и Сигнатура квадратичная форма ). При линейном преобразовании переменных x1,x2, . . . , xn с матрицей С матрица квадратичная форма А переходит в матрицу САС’ (С’— транспонированная матрица (см.)).
Ортогональными преобразованиями (см.) над переменными x1,x2, . . . , xn можно привести F к виду:

645где λ1, λ2,….,λn — вещественные числа, инварианты квадратичной формы.
Вышеописанные теоремы находят важные и многочисленные применения во многих отделах математики. Так, в определении типа (вида) кривой (поверхности) 2-го порядка в аналитической геометрии по существу решается задача о приведении квадратичной формы к виду (*), а вычисление, например, полуосей эллипса, гиперболы и т. п. сводится к вычислению чисел λ в формуле (*).
В дифференциальной геометрии рассматриваются квадратичные формы с переменными коэффициентами: аij = аij ( x1,x2, . . . , xn), в связи с чем теория квадратичной формы наполняется новым содержанием. Большое значение среди квадратичных форм имеют положительно определенные квадратичные формы, у которых λi >0, i=1, 2, . . ., n. Рассматриваются также отрицательно определенные квадратичные формы ( λi <0, i= 1, 2, . . ., n).