КРИВИЗНА

КРИВИЗНА плоской кривой — величина, характеризующая степень отклонения ее от прямой в окрестности некоторой точки М. Направление кривой в точке М можно охарактеризовать углом Θ, составленным касательно к кривой в точке М с осью Ох (рис. 132). Скорость изменения угла Θ при равномерном движении точки М по кривой называется кривизной кривой в точке М. Угол Θ можно рассматривать как функцию от длины дуги М0М, где М0 фиксированная (начальная) точка, откуда кривизна кривой в точке М запишется в виде формулы:

758где ∆Θ— угол между касательными к кривой в точках М и М0 , ∆S — длина дуги М М0 . Кривизна окружности k= 1/R, т. е. обратна радиусу окружности.

759В случае произвольной плоской кривой (при определенных условиях дифференцируемости) в любой точке М можно построить так называемую соприкасающуюся окружность (круг кривизны), которая наиболее тесно примыкает к кривой в точке М, по сравнению с другими окружностями, касающимися кривой в той же точке М. Центр соприкасающейся окружности и ее радиус называются центром кривизны и радиусом кривизны.
Кривизна и радиус кривизны ρ связаны соотношением k=1/ρ. Если кривая задана в прямоугольных декартовых координатах, то ее кривизна вычисляется по формуле:

760Если знак абсолютного значения не пишут, то получают кривизну со знаком + или —, в зависимости от выпуклости (см.) или вогнутости кривой в точке М.
Если рассматривается пространственная кривая, то вместо соприкасающихся окружностей (кругов кривизны) рассматривают соприкасающиеся плоскости (см.) в точке М и в соседней с ней точке М’, т. е. плоскости соприкасающихся окружностей в точках М и М’. Пусть β — двугранный угол между этими плоскостями, ∆S — длина дуги MМ’; тогда выражение определит абсолютное значение кручения (второй кривизны) пространственной кривой в точке М. Кручению σ приписывают знак по «правилу буравчика» (правовинтового или левовинтового).