КОШИ ЗАДАЧА

КОШИ ЗАДАЧА — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (см.) впервые систематически изучавшаяся французским математиком Коши.
К задаче Коши приводят процессы, характеризуемые некоторым дифференциальным законом и определенным начальным состоянием. Коши задача и заключается в отыскании такого решения дифференциального уравнения, которое удовлетворяет данному начальному условию.  Так, для обыкновенного дифференциального уравнения

738 Коши задача состоит в отыскании решения при заданных значениях:

739 Коши задача состоит в отыскании решения при заданных значениях:

740 Коши задача состоит в нахождении решения этого уравнения при условии u(х0у)=φ(у), где φ(у) — заданная функция.
Вообще, в случае дифференциального уравнения n-го порядка с частными производными К. з. заключается в нахождении решения дифференциального уравнения:741если заданы

742для некоторого фиксированного значения аргумента t. На языке геометрии, этому соответствует случай (m+2)-мерного пространства с координатами (t,х1,x2, • • • хm,u). Коши задача в случае линейного уравнения вида:

743состоит в определении интегральной поверхности u=u(х1, х2, …, хn) этого уравнения, проходящей через заданную (n—1)-мерную кривую.
Коши в 1842 г. и независимо от него С. Ковалевская в 1874 г. доказали существование и единственность решения К. з. при условии аналитичности функции F [см. (*) ] и функций, входящих в начальные условия.  Коши задача и теорема Коши — Ковалевской имеют место также для систем дифференциальных уравнений. Адамар в 1923 г. показал, что постановка Коши задачи для эллиптических уравнений не корректна, т. е. решение Коши задачи не является непрерывным зависящим от начальных условий.