ХАРАКТЕРИСТИКА

ХАРАКТЕРИСТИКА: 1°. Xарактеристика логарифма — целая часть логарифма числа. 2°. Xарактеристика в теории дифференциальных уравнений (см.) в частных производных. Для дифференциальных уравнений 1-го порядка:570где р, q, r — данные функции х, у, z. X. называют кривые, определяемые системой дифференциальных уравнений:571Интегрируя, получаем семейство X.:572Это — совокупность кривых, касающихся в каждой своей точке вектора {р, q. r}
Интегральная поверхность уравнения (*) является геометрическим местом X., пересекающих некоторую кривую. Уравнение поверхности — F [φ (х, у, z), ψ (х, у, z) ]=0, где F — функция двух переменных.
Условие — кривая не является характеристикой — необходимое и достаточное (см.) для того, чтобы задача Коши (см.) с условиями, заданными на этой кривой, имела единственное решение.
Понятие характеристика обобщается для случая трех и более независимых переменных. Для дифференциального уравнения 2-го порядка:573Xарактеристики определяются как линии, вдоль которых удовлетворяется обыкновенное дифференциальное уравнение:574Понятие характеристики для этого случая было введено французским ученым Г. Монжем.
В случае, когда уравнение (***) гиперболического типа, получаются два семейства характеристики с уравнениями: 575 С1 и С2 — произвольные константы. Если взять ξ и η за новые аргументы, то уравнение (***) приводится к виду: 576Для уравнения параболического типа эти семейства совпадают, и если выбрать правильно η, то уравнение (**) приводится к виду:577Если уравнение (**) эллиптического типа, то вещественных характеристик нет.
Записывая решение уравнения (***) в виде ξ+iη=C, преобразуем уравнение (**):578Зная значения решения вдоль характеристики и значения579в некоторой точке характеристики, можно определить значение этих производных вдоль всей линии (см. Краевые задачи). Такой зависимости нет для других линий. Однако если значения580заданные на линии, не являющейся характеристикой, определяют значения решения вблизи этой линии, то для характеристики это не так. Если два решении совпадают по одну сторону линии и различны по другую, то эта линия является характеристикой. Определения характеристики имеются также для уравнения и систем уравнений с частными производными любого порядка.
3°. Xарактеристика в дифференциальной геометрии — кривая, вдоль которой огибающая касается данной поверхности семейства. Xарактеристика плоскостей можно получить как предельное положение прямой пересечения плоскости семейства с бесконечно близкой плоскостью семейства.
4°. Xарактеристика Эйлера-Пуанкаре—см. Эйлера теорема.
5°. Xарактеристика в теории вероятностей. Числовые характеристики — числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распределения случайной величины. Назначение таких характеристик — в сжатой форме выразить наиболее существенные особенности распределения. Например, какое-то среднее значение около которого группируются возможные значения случайной величины; какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего, и т. д. Литературу см. в терминах Уравнения математической физики, Дифференциальная геометрия, Вероятностей теория.