ГРУППА

ГРУППА — множество G элементов а, b, с, .. ., для которых определена операция умножения (композиция) такая, что любым двум элементам а, b из G, взятым в определенном порядке, однозначно поставлен в соответствие некоторый элемент с из того же множества, который называется произведением элементов а и b и обозначается аb; при этом для всех элементов множества G относительно указанной операции выполняются следующие требования (аксиомы, постулаты):

1) произведение любых двух элементов или квадрат какого-либо элемента множества принадлежит тому же множеству; 2) для любых трех элементов множества выполняется ассоциативный (сочетательный) закон: а (bс)=(аb) с; 3) в множестве существует элемент e такой, что ае=еа=а. Элемент е называется единичным, или единицей группы, или нейтральным элементом; 4) для любого элемента а существует элемент a-1 , принадлежащий тому же множеству, что аa-1  = аa-1 а = е. Элемент a-1 называется элементом, обратным а.
Примечание. В аксиомах 3 и 4 достаточно положить ае=а и aаa-1 =е (или еа=а и аa-1 а=е), откуда следуют соотношения: еа=а и аa-1 а=е. По своей природе элементы группы могут быть самыми различными (числа, матрицы, функции, геометрические объекты и т. д.). Если операция, определенная в группе, коммутативна (для любых двух элементов аb=bа), то группа называется коммутативной или абелевой. Если групповая операция называется не умножением, а сложением, то вместо произведения употребляют сумму и в аксиомах группы вместо знака умножения пишут знак сложения. При этом вместо единицы группы говорят о нуле группы и обозначают его символом 0; в этом случае вместо обратного элемента употребителен термин «противоположный элемент».
Если число элементов группы конечно, то она называется конечной группой, а число ее элементов называется порядком группы. Если группа состоит из элемента а и его последовательных степеней a2, а3, … аp=е, то она называется циклической группой порядка р, где р —наименьшее натуральное число, для которого аp =е. Порядок циклической группы р называют также порядком элемента а. Следует заметить, что множество элементов, образуя группу при одной композиции (групповой операции), может не составлять группу при другой композиции. Например, множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) образует группу при операции сложения и не образует группу при операции обычного умножения.

Примеры: 1) Множество всех целых чисел относительно операции сложения есть группа (аддитивная группа всех целых чисел). 2) Множество всех рациональных чисел, отличных от нуля относительно операции умножения, есть группа (мультипликативная группа отличных от нуля рациональных чисел). 3) Множество всех векторов на плоскости относительно сложения векторов есть группа. 4) Четыре числа 1, —1, i, — i образуют группу, относительно операции умножения. Эта группа циклическая четвертого порядка, порождаемая степенями элемента i или — i.
Можно дать второе определение группы, равносильное предыдущему; множество G, в котором определена операция над любыми двумя ее элементами, называется группой, если: 1) эта операция ассоциативна, 2) для любых двух элементов а, bиз G существует единственный элемент х из G такой, что аx=b, и единственный элемент у из G такой, что уа=b.
См. также Ли группа, Абелева группа, Галуа группа, Преобразование, Федоровские группы, Фактор-группа, Непрерывная группа.