ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ФУРЬЕ  ПРЕОБРАЗОВАНИЕ функции f (х) — функция F (z), связанная с f (х) формулой:1597При этом предполагается, что формула Фурье:1598имеет место для всех значений х в промежутке (—∞, +∞), за исключением, быть может, лишь конечного числа точек. Обратное Фурье преобразование выражается формулой:1599Функции1600называются соответственно синус- и косинус-преобразованием Фурье.

Если f (х)— четная, то F(z)= Fc(z), если же f (х)—нечетная, то F (z)= iFs (z). В общем случае f(x) можно представить в виде суммы четной g и нечетной h функций:1601Тогда F (z)= Gc(z)+iHs (z), поэтому можно ограничиться косинус — и синус — преобразованиями Фурье. Например, для f (x) = e-ax ,16021603Если f (х) абсолютно интегрируема в промежутке (— ∞, + ∞), то функция1604непрерывна во всем этом промежутке и стремится к нулю при z → ±∞. Если же абсолютно интегрируема в промежутке (—∞, + ∞) f (х) хn (n — натуральное число), то F (z) имеет n производных: F’ (z), F» (z), .. ., Fn (z), которые при z→±∞ все стремятся к нулю.
Понятие Фурье преобразование можно обобщить на случай функции многих переменных. В частности, если f( x1, х2 ) абсолютно интегрируема по обеим переменным x1, х2 в промежутке (—∞, + ∞), то ее Фурье преобразование имеет вид:1605Фурье преобразование применяется в функциональном анализе, гармоническом анализе, операционном исчислении, в теории линейных систем и др.