ФУНКЦИЯ

ФУНКЦИЯ — одно из основных понятий математики. Элемент множества Еу произвольной природы называется функцией элемента х, определенной на множестве Ех произвольной природы, если каждому элементу х из множества Ех соответствует единственный элемент1581Элемент х называется независимой переменной или аргументом. Множество Ех называется областью определения, или областью существования функции. Множество1582состоящее из всех у, которые соответствуют хотя бы одному1583называется множеством значений функции или областью изменения функции. Таким образом, у есть функция, от х, когда установлено соответствие: каждому х из множества Ех соответствует определенное у из множества Еу . Обозначения для функции: у= f(x), у=φ (х) и т. д. В зависимости от природы множеств Ех и Еу получаются различные типы функций. Если Ех и Еу — некоторые множества действительных чисел, т. е. х и у принимают действительные числовые значения, то имеем функцию действительного (вещественного) переменного, или просто функцию. Если Ех — некоторое множество действительных чисел, а Еу — некоторое множество комплексных чисел, то имеем комплексно-значную функцию действительного переменного. Если Ех и Еу — некоторые множества комплексных чисел, то имеем функцию комплексного переменного. Если Ех — некоторое множество комплексов (совокупностей из n элементов) ( x1, х2, . . ., хn), где x1, х2, . . ., хn принимают числовые значения, а Еу — некоторое множество действительных чисел, то имеем функцию многих переменных (см.): y=f(x)=f ( x1, х2, . . ., хn ). Чаще всего рассматривают функцию, множество значений   Ау  которых есть числовое множество. Иногда тот факт, что Ау не есть числовое множество, указывается в названии функции, например: вектор-функция, функция, принимающая матричные значения. Когда Ау является множеством более абстрактным, чем числовое, более употребительны термины «оператор», «отображение». Функция может задаваться одним или несколькими аналитическими выражениями, словесным определением, таблицей и т. д.,—лишь бы был задан закон соответствия: x→y=f(x) Определение функции, как переменной величины несовершенно, так как при этом используется нестрогое понятие переменной величины. Примеры функций см. в отдельных терминах, посвященных функции. (Аналитическая функция, График функции, Непрерывные функции, Тригонометрические функции и др.).