ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА

ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА или k-угольные числа — целые числа вида:1570Фигурные числа образуют арифметический ряд (см.) 2-го порядка. При k=3, 4 и 5 Ф. ч. дают соответственно треугольные числа, квадратные числа и пентагональные числа (см.). О фигурных числах справедлива следующая основная теорема: всякое натуральное число может быть представлено суммой не более чем k k-угольных чисел, например суммой не более чем четырех квадратов. Эта теорема была высказана Ферма и доказана Коши. Исторически первое систематическое изучение фигурных чисел содержится в сочинении Никомаха «Введение в арифметику». Пространственные аналоги треугольных чисел в трехмерном пространстве называются пирамидальными (тетраэдрическими) числами. Пирамидальные числа выражают число одинаковых шаров, составляющих правильную пирамиду. Фигурные числа встречаются в комбинаторике, а также в теории чисел при вычислении суммы одинаковых степеней чисел натурального ряда. Фигурные числа известны были в древней Индии, в Китае, Вавилоне, Греции. У европейских математиков фигурные числа назывались коэффициентами в разложении бинома (а+b)n при n= 1, 2, 3, . . . См. также Паскаля треугольник, Многоугольные числа.