ДВУЧЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ

ДВУЧЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ —уравнение вида хn — а = 0, где а — любое комплексное число, n — натуральное. В поле комплексных чисел двучленное уравнение имеет n решений (корней), которые в комплексной плоскости располагаются на окружности с центром в начале координат и радиусом, равным арифметическому корню n-й степени из модуля числа а.

Двучленное уравнение вида хn1 =0 называется уравнением деления круга (окружности), так как деление круга (окружности) на n равных частей эквивалентно решению этого уравнения.
Корни уравнения хn1 =0 есть корни n-й степени из 1; все они располагаются на окружности радиуса, равного 1, имеющей центр в начале координат.
Корни уравнения хn1 =0 имеют вид:

478Зная хотя бы один корень уравнения хn — а = 0, можно путем умножения его на корни той же степени из 1 получить все остальные корни этого уравнения.
Произведение и частное

479двух любых корней n-й степени из единицы есть корень той же степени из единицы.
Существуют такие корни n-й степени εk из 1, что все остальные корни той же степени из 1 есть степени корня εk . Такие корни εк называются первообразными. Если левую часть уравнения деления круга представить в виде произведения неприводимых многочленов (х — 1) f1(х) f2 (х) … fi(x)  с целыми (действительными) коэффициентами, то один из этих многочленов fj(x) будет иметь все корни первообразные. Для того чтобы корень εk  был первообразным, необходимо и достаточно, чтобы к и n были взаимно простыми числами. Например, ε1 — всегда первообразный:

481Двучленным уравнением также называется уравнение вида ахm+bхn =0 (m, n — натуральные), решение которого сводится к решению рассмотренного выше уравнения.