ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — уравнения, содержащие искомые функции, их производные любых порядков и независимые переменные. Дифференциальные уравнения возникли в XVII в. ввиду потребностей механики и других отделов естествознания.  Приведем простейшую задачу, решение которой сводится к дифференциальному уравнению. Если тело имеет температуру Т и находится в среде, температура которой нуль, то падение этой температуры тела за время Δt с достаточной точностью дается формулой: ΔТ=—kTΔt, где к— некоторый постоянный коэффициент. Если в этом соотношении устремить Δt к нулю, получим: Т’=—кТ. Для полученного уравнения можно указать все частные решения—они даются формулой Т=Се-kt , где С — постоянно.
Дифференциальные уравнения делятся на обыкновенные , в которые входят как неизвестные функции только одного переменного, и уравнения с частными производными , содержащие частные производные функций нескольких аргументов.
1°. Дифференциальные уравнения обыкновенные. Среди этих уравнений простейшим является уравнение 1-го порядка, т. е. уравнение вида: F(х, у, у’) = 0. Иногда его можно записать в виде: у’=f{х,у). (*) Последнее уравнение является частным случаем более общего уравнения: Р(х, у)dх+Q(х, у)dу=0. Решить это уравнение — значит найти все кривые на плоскости, вдоль которых оно выполняется. Уравнение (*) допускает геометрическую интерпретацию. В каждой точке плоскости (х, у) можно провести вектор с направлением k=f(x, у). Таким образом, получается поле направлений. Кривая у(х) будет решением (*), если она в каждой своей точке касается некоторого вектора поля направлений. Каждое дифференциальное уравнение обыкновенное имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений. Поэтому для нахождения частного решения надо указать начальные данные, т. е.’ должно быть задано, через какую точку проходит решение. Таким образом, семейство решений есть однопараметрическое семейство кривых: у(х)=F(х, с). (**)  Если из (**) соответствующим выбором с можно получить любое решение, то оно называется общим решением дифференциальных уравнений обыкновенных.
В теории дифференциальных уравнений обыкновенных изучаются также уравнения высших порядков, а именно уравнения вида: F(х, у, у’, у»…..у(n-1), у(n) )=0  и системы уравнений. Как правило, решить дифференциальные уравнения обыкновенные в конечном виде невозможно, поэтому для их решения широко применяются приближенные методы: метод конечных разностей, графическое разложение в ряды. Большое значение имеют качественные методы (см.).
2°. Дифференциальные уравнения  с частными производными. Их главным отличием от обыкновенных является то, что общее решение зависит не от произвольных постоянных, а от произвольных функции. Например, общим решением дифференциальных уравнений

517является выражение u(х, t)=f(х+t)+g(х — t), где f и g — произвольные функции.
Типичной задачей для дифференциальных уравнений с частными производными является задача Коши: найти решение u(t, х), которое при t=0 обращается в заданную функцию φ1 (x), а производные до (n— 1)-го порядка ui (где n — порядок уравнения по t) — в некоторые заданные функции Для уравнений порядка выше
1-го рассматриваются также краевые задачи (см.). Дифференциальные уравнения с частным производным являются основным математическим аппаратом в гидромеханике, аэромеханике, теории упругости и т. п.