ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ

ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ — отдел математики, посвященный изучению свойств целых чисел, рациональных и алгебраических. Чисел теория изучает также и свойства произвольных чисел, вытекающие из возможности приближения этих чисел числами рациональными.
Чисел теория стала развиваться очень давно. Уже в VI в. до н. э. в пифагорейской школе в Греции изучались различные свойства целых чисел (их делимость, деление на подклассы: простые, составные, квадратные), структура совершенных чисел (см.), было дано решение уравнения x²+y²=z² в целых числах (см. Пифагоровы числа).
Чисел теории были посвящены труды греческих математиков Евклида, Эратосфена, Диофанта. В Китае в связи с составлением календарей чисел теорией занимались ученые Сунь-цзы (II—VI вв.), Цинь Цзю-шао (XIII в.). В Индии исследовались решения уравнений в целых числах (Барамагута, VII в., Бхаскара, XII в.). В Европе интенсивное развитие чисел теория начинается с работы Ферма (XVII в.) (см. Ферма великая теорема). Огромный вклад в развитие чисел теорию внес петербургский математик Л. Эйлер, заложивший основы аналитической чисел теории. Из приведенных ниже трех знаменитых проблем Эйлера, поставленных им в переписке с Гольдбахом, две остались до сих пор нерешенными (а первая из них решена в 1937 г. советским математиком акад. И. М. Виноградовым): 1) всякое нечетное число N есть сумма трех простых чисел; 2) четное число N есть сумма двух простых чисел; 3) нечетное число есть сумма вида N=p+2k² (где k — целое число, а р — простое). В формировании чисел теории в смысле строгой ее систематизации оказали существенное влияние работы выдающегося немецкого математика К. Ф. Гаусса: им была построена теория сравнений (см.), заложены основы современной теории форм, введены в рассмотрение тригонометрические суммы. Выдающийся вклад в Ч. т. внес великий русский математик П. Л Чебышев, который получил ряд первоклассных результатов о простых числах (см. Чебышева неравенство в теории чисел, Бертрана постулат).
В настоящее время в чисел теории используются элементарные и аналитические методы для решения проблем распределения простых чисел в различных числовых последовательностях; изучаются также алгебраические числа, являющиеся обобщением понятия целых чисел (см. Алгебраические числа). Специальный раздел чисел теории составляет решение диофантовых уравнений (см.) и нахождение диофантовых приближений (см.).