Средняя векторная скорость: графическая интерпретация. Скорость движения Вектор указывающий направление максимального увеличения скорости

Термин «скорость» используют в науке и в широком смысле, понимая под ним быстроту изменения какой-либо величины (не обязательно радиус-вектора) в зависимости от другой (чаще подразумеваются изменения во времени , но также в пространстве или любой другой). Так, например, говорят об угловой скорости , скорости изменения температуры , скорости химической реакции , групповой скорости , скорости соединения и т. д. Математически «быстрота изменения» характеризуется производной рассматриваемой величины.

Расширениями понятия скорости являются четырёхмерная скорость , или скорость в релятивистской механике обобщённых координатах .

Скорость точки в классической механике

v → = d r → d t ≡ v τ τ → , {\displaystyle {\vec {v}}={\mathrm {d} {\vec {r}} \over \mathrm {d} t}\equiv v_{\tau }{\vec {\tau }},}

где τ → ≡ d r → / d s {\displaystyle {\vec {\tau }}\equiv \mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} s} - единичный вектор касательной , проходящей через текущую точку траектории (он направлен в сторону возрастания дуговой координаты s {\displaystyle s} движущейся точки), а v τ ≡ s ˙ {\displaystyle v_{\tau }\equiv {\dot {s}}} - проекция вектора скорости на направление упомянутого единичного вектора, равная производной дуговой координаты по времени и именуемая алгебраической скоростью точки. В соответствии с приведёнными формулами, вектор скорости точки всегда направлен вдоль касательной, а алгебраическая скорость точки может отличаться от модуля v {\displaystyle v} этого вектора лишь знаком . При этом:

Не следует смешивать дуговую координату и пройденный точкой путь . Путь , пройденный точкой за промежуток времени от до t {\displaystyle t} , может быть найден так:

s ~ = ∫ t 0 t | s ˙ | d t ; {\displaystyle {\tilde {s}}=\int _{t_{0}}^{t}|{\dot {s}}|\,\mathrm {d} t\;;}

лишь в случае, когда алгебраическая скорость точки всё время неотрицательна, связь пути и дуговой координаты достаточно проста: путь совпадает с приращением дуговой координаты за время от t 0 {\displaystyle t_{0}} до t {\displaystyle t} (если же при этом начало отсчёта дуговой координаты совпадает с начальным положением движущейся точки, то s ~ {\displaystyle {\tilde {s}}} будет совпадать с s {\displaystyle s} ).

Если алгебраическая скорость точки не меняется с течением времени (или, что то же самое, модуль скорости постоянен), то движение точки называется равномерным (алгебраическое касательное ускорение s ¨ {\displaystyle {\ddot {s}}} при этом тождественно равно нулю).

Предположим, что s ¨ ⩾ 0 {\displaystyle {\ddot {s}}\geqslant {0}} . Тогда при равномерном движении скорость точки (алгебраическая) будет равна отношению пройденного пути s ~ {\displaystyle {\tilde {s}}} к промежутку времени t − t 0 {\displaystyle t-t_{0}} , за который этот путь был пройден:

s ˙ c p = s ~ t − t 0 . {\displaystyle {\dot {s}}^{\,\mathrm {cp} }={{\tilde {s}} \over t-t_{0}}\;.}

В общем же случае аналогичные отношения

v → c p = r → − r → 0 t − t 0 ≡ Δ r → Δ t {\displaystyle {\vec {v}}^{\,\,\mathrm {cp} }={{\vec {r}}-{\vec {r}}_{0} \over t-t_{0}}\equiv {\Delta {\vec {r}} \over \Delta {t}}} и s ˙ c p = s − s 0 t − t 0 ≡ Δ s Δ t {\displaystyle {\dot {s}}^{\,\mathrm {cp} }={s-s_{0} \over t-t_{0}}\equiv {\Delta {s} \over \Delta {t}}}

определяют соответственно среднюю скорость точки и её среднюю алгебраическую скорость ; если термином «средняя скорость » пользуются, то о величинах и s ˙ {\displaystyle {\dot {s}}} говорят (чтобы избежать путаницы) как о мгновенных скоростях.

Иллюстрация средней и мгновенной скорости

Не следует смешивать два введённых выше понятия средней скорости. Во-первых, v → c p {\displaystyle {\vec {v}}^{\,\,\mathrm {cp} }} - вектор, а s ˙ c p {\displaystyle {\dot {s}}^{\,\mathrm {cp} }} - скаляр. Во-вторых, эти величины могут не совпадать по модулю. Так, пусть точка движется движется по винтовой линии и за время своего движения проходит один виток; тогда модуль средней скорости этой точки будет равен отношению шага винтовой линии (то есть расстояния между её витками) ко времени движения, а модуль средней алгебраической скорости - отношению длины витка ко времени движения.

Для тела протяжённых размеров понятие «скорости» (тела как такового, а не одной из его точек) не может быть определено; исключение составляет случай мгновенно-поступательного движения. Говорят, что абсолютно твёрдое тело совершает мгновенно-поступательное движение , если в данный момент времени скорости всех составляющих его точек равны ; тогда можно, разумеется, положить скорость тела равной скорости любой из его точек. Так, например, равны скорости всех точек кабинки колеса обозрения (если, конечно, пренебречь колебаниями кабинки).

В общем же случае скорости точек, образующих твёрдое тело, не равны между собой. Так, например, для катящегося без проскальзывания колеса модули скоростей точек на ободе относительно дороги принимают значения от нуля (в точке касания с дорогой) до удвоенного значения скорости центра колеса (в точке, диаметрально противоположной точке касания). Распределение скоростей точек абсолютно твёрдого тела описывается кинематической формулой Эйлера .

В декартовых координатах

v = v x i + v y j + v z k . {\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} .}

В то же время r = x i + y j + z k , {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,} поэтому

v = d (x i + y j + z k) d t = d x d t i + d y d t j + d z d t k . {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k})}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\mathbf {i} +{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\mathbf {j} +{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\mathbf {k} .}

Таким образом, координаты вектора скорости - это скорости изменения соответствующей координаты материальной точки :

v x = d x d t ; v y = d y d t ; v z = d z d t . {\displaystyle v_{x}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}};v_{y}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}};v_{z}={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}.}

В цилиндрических координатах

Скорость в полярных координатах

v R = d R d t ; v φ = R d φ d t ; v z = d z d t . {\displaystyle v_{R}={\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}};v_{\varphi }=R{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}};v_{z}={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}.}

V φ {\displaystyle v_{\varphi }} носит название поперечной скорости , v R {\displaystyle v_{R}} - радиальной .

В сферических координатах

v R = d R d t ; v φ = R sin ⁡ θ d φ d t ; v θ = R d θ d t . {\displaystyle v_{R}={\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}};v_{\varphi }=R\sin \theta {\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}};v_{\theta }=R{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}.}

Обобщения

Обобщениями понятия скорости является четырёхмерная скорость , или скорость в релятивистской механике , и обобщённая скорость, или скорость в обобщённых координатах .

Четырёхмерная скорость

v 0 = c 1 − v 2 c 2 ; v 1 = v x 1 − v 2 c 2 ; v 2 = v y 1 − v 2 c 2 ; v 3 = v z 1 − v 2 c 2 . {\displaystyle v_{0}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}};v_{1}={\frac {v_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}};v_{2}={\frac {v_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}};v_{3}={\frac {v_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}

Четырёхмерный вектор скорости является времениподобным вектором, то есть лежит внутри светового конуса .

В обобщённых координатах

Следует различать координатную и физическую скорости. При введении криволинейных или обобщённых координат положение тел описывается их зависимостью от времени. Производные от координат тела по времени при этом называются координатными скоростями.

Преобразование скорости

В классической механике Ньютона скорости преобразуются при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую согласно преобразованиям Галилея . Если скорость тела в системе отсчёта S {\displaystyle S} была равна v → {\displaystyle {\vec {v}}} , а скорость системы отсчёта S ′ {\displaystyle S"} S {\displaystyle S} равна , то скорость тела при переходе в систему отсчёта S ′ {\displaystyle S"} будет равна

v → ′ = v → − u → . {\displaystyle {\vec {v}}"={\vec {v}}-{\vec {u}}.}

Для скоростей, близких к скорости света преобразования Галилея становятся несправедливы. При переходе из системы S {\displaystyle S} в систему S ′ {\displaystyle S"} необходимо использовать преобразования Лоренца для скоростей :

v x ′ = v x − u 1 − (v x u) / c 2 , v y ′ = v y 1 − u 2 c 2 1 − (v x u) / c 2 , v z ′ = v z 1 − u 2 c 2 1 − (v x u) / c 2 , {\displaystyle v_{x}"={\frac {v_{x}-u}{1-(v_{x}u)/c^{2}}},v_{y}"={\frac {v_{y}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}{1-(v_{x}u)/c^{2}}},v_{z}"={\frac {v_{z}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}{1-(v_{x}u)/c^{2}}},}

в предположении, что скорость u → {\displaystyle {\vec {u}}} направлена вдоль оси x {\displaystyle x} системы S {\displaystyle S} . Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.

Связанные понятия

Ряд понятий классической механики выражаются через скорость.

p μ = m U μ , {\displaystyle p^{\mu }=m\,U^{\mu }\!,}

где U μ {\displaystyle U^{\mu }} - обобщённая четырёхмерная скорость.

T = m v 2 2 + I ω → 2 2 , {\displaystyle T={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {{\mathcal {I}}{\vec {\omega }}^{2}}{2}},}

где m {\displaystyle \ m} - масса тела, v {\displaystyle \ v} - скорость центра масс тела, I {\displaystyle {\mathcal {I}}} - момент инерции тела, ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} - угловая скорость тела.

Изменение скорости по времени характеризуется ускорением . Ускорение отражает изменение скорости как по величине (тангенциальное ускорение), так и по направлению (центростремительное ускорение) :

a → = d v → d t = a → τ + a → n = d | v → | d t e → τ + v 2 r e → n , {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {a}}_{\tau }+{\vec {a}}_{n}={\frac {\mathrm {d} |{\vec {v}}|}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}_{\tau }+{v^{2} \over r}{\vec {e}}_{n},}

где r {\displaystyle \ r} - радиус кривизны траектории точки.

В релятивистской механике угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта носит название быстроты (обозначается θ {\displaystyle \theta } ). Быстрота выражается формулой:

θ = c A r t h v c = c 2 ln ⁡ 1 + v c 1 − v c , {\displaystyle \theta =c\,\mathrm {Arth} \,{\frac {v}{c}}={\frac {c}{2}}\ln {\frac {1+{\dfrac {v}{c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}}},}

где A r t h x {\displaystyle \mathrm {Arth} \,x} - ареатангенс , или гиперболический арктангенс. Быстрота стремится к бесконечности когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой необходимо пользоваться преобразованиями Лоренца, быстрота аддитивна, то есть

θ ′ = θ + θ 0 , {\displaystyle \theta "=\theta +\theta _{0},}

где θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} - быстрота системы отсчёта S ′ {\displaystyle S"} относительно системы отсчёта S {\displaystyle S} .

Некоторые скорости

Космические скорости

Скорость света

Скорость гравитации

• Радианы в секунду , принята в системах СИ и СГС . Физическая размерность 1/с.
• Обороты в секунду (в технике)
• градусы в секунду, грады в секунду

Соотношения между единицами скорости

• 1 м/с = 3,6 км/ч
• 1 узел = 1,852 км/ч = 0,514 м/c
• Мах 1 ~ 330 м/c ~ 1200 км/ч (зависит от условий, в которых находится воздух)
• c = 299 792 458 м/c

Исторический очерк

Две стадии движения брошенного тела по теории Авиценны: отрезок АВ - период «насильственного стремления», отрезок ВС - период «естественного стремления» (падение вертикально вниз)

В 1328 году увидел свет «Трактат о пропорциях или о пропорциях скоростей при движении» Томаса Брадвардина , в котором он нашёл несоответствие в физике Аристотеля и связи скорости с действующими силами. Брадвардин заметил, что по словесной формуле Аристотеля если движущая сила равна сопротивлению, то скорость равна 1, в то время как она должна быть равна 0. Он также представил свою формулу изменения скорости, которая хоть и была не обоснованна с физической точки зрения, но представляла собой первую функциональную зависимость скорости от причин движения. Брадвардин называл скорость «количеством движения» . Уильям Хейтсбери , в трактате «О местном движении» ввёл понятие мгновенной скорости. В 1330-1340 годах он и другие ученики Брадвардина доказали так называемое «мертонское правило», которое означает равенство пути при равноускоренном движении и равномерном движении со средней скоростью .

Всякая широта движения, униформно приобретаемая или теряемая, соответствует своему среднему градусу, так что столько же в точности будет пройдено благодаря этой приобретаемой широте, сколько и благодаря среднему градусу, если бы тело двигалось всё время с этим средним градусом.

В 1609 году в работе «Новая астрономия» Кеплер сформулировал закон площадей, согласно которому секторная скорость планеты (площадь, описываемая отрезком планета - Солнце, за единицу времени) постоянна . В «Началах философии» Декарт сформулировал закон сохранения количества движения , которое в его понимании есть произведение количества материи на скорость , при этом Декарт не принимал во внимание тот факт, что количество движения имеет не только величину, но и направление . В дальнейшем понятие «количество движения» развивал Гук , который понимал его как «степень скорости, присущей в определённом количестве вещества» . Гюйгенс , Валлис и Рен добавили к этому определению направление. В таком виде во второй половине XVII века количество движения стало важным понятием в динамике, в частности в работах

Скорость - векторная величина, характеризующая не только быстроту передвижения частицы по траектории, но и направление, в котором движется частица в каждый момент времени.

Средняя скорость за время от t 1 до t 2 равна отношению перемещения за это время к промежутку времени , за которое это перемещение имело место:

Тот факт, что это именно средняя скорость мы будем отмечать, заключая среднюю величину в угловые скобки: <...> , как это сделано выше.

Приведенная выше формула для среднего вектора скорости есть прямое следствие общего математического определения среднего значения <f(x) > произвольной функции f(x) на промежутке [a,b ]:

Действительно

Средняя скорость может оказаться слишком грубой характеристикой движения. Например, средняя скорость за период колебаний всегда равна нулю, в независимости от характера этих колебаний , по той простой причине, что за период - по определению периода - колеблющееся тело вернется в исходную точку и, следовательно, перемещение за период всегда равно нулю. По этой и ряду других причин, вводится мгновенная скорость - скорость в данный момент времени. В дальнейшем, подразумевая мгновенную скорость, будем писать просто: «скорость», опуская слова «мгновенная» или «в данный момент времени» всегда, когда это не может привести к недоразумениям.Для получения скорости в момент времени t надо сделать очевидную вещь: вычислить предел отношения при стремлении промежутка времени t 2 – t 1 к нулю. Сделаем переобозначения: t 1 = t и t 2 = t + и перепишем верхнее соотношение в виде:

Скорость в момент времени t равна пределу отношения перемещения за время к промежутку времени, за которое это перемещение имело место, при стремлении последнего к нулю

Рис. 2.5. К определению мгновенной скорости.

В данный момент мы не рассматриваем вопрос о существовании этого предела, предполагая, что он существует. Отметим, что если и есть конечное перемещение и конечный промежуток времени, то и - их предельные величины: бесконечно малое перемещение и бесконечно малый промежуток времени. Так что правая часть определения скорости

есть ничто иное как дробь - частное от деления на , поэтому последнее соотношение может быть переписано и весьма часто используется в виде

По геометрическому смыслу производной, вектор скорости в каждой точке траектории направлен по касательной к траектории в этой точке в её сторону движения.

Видео 2.1. Вектор скорости направлен по касательной к траектории. Эксперимент с точилом.

Любой вектор можно разложить по базису (для единичных векторов базиса, другими словами, единичных векторов, определяющих положительные направления осей OX ,OY ,OZ используем обозначения , , или , соответственно). Коэффициентами такого разложении являются проекции вектора на соответствующие оси. Важно следующее: в алгебре векторов доказано, что разложение по базису единственно. Разложим по базису радиус-вектор некоторой движущейся материальной точки

Учитывая постоянство декартовых единичных векторов , , , продифференцируем это выражение по времени

С другой стороны, разложение по базису вектора скорости имеет вид

опоставление двух последних выражений, с учетом единственности разложения любого вектора по базису, дает следующий результат: проекции вектора скорости на декартовы оси равны производным по времени от соответствующих координат, то есть

Модуль вектора скорости равен

Получим ещё одно, важное, выражение для модуля вектора скорости.

Уже отмечалось, что при величина || все меньше и меньше отличается от соответствующего пути (см. рис. 2). Поэтому

и в пределе (>0)

Иными словами, модуль скорости - это производная пройденного пути по времени.

Окончательно имеем:

Средний модуль вектора скорости , определяется следующим образом:

Среднее значение модуля вектора скорости равно отношению пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден:

Здесь s(t 1 , t 2) - путь за время от t 1 до t 2 и, соответственно, s(t 0 , t 2) - путь за время от t 0 до t 2 и s(t 0 , t 2) - путь за время от t 0 до t 1 .

Средний вектор скорости или просто средняя скорость, как указано выше, равен

Отметим, что прежде всего, это вектор, его модуль - модуль среднего вектора скорости не следует путать со средним значением модуля вектора скорости. В общем случае они не равны: модуль среднего вектора вовсе не равен среднему модулю этого вектора . Две операции: вычисление модуля и вычисление среднего, в общем случае, переставлять местами нельзя.

Рассмотрим пример. Пусть точка движется в одну сторону. На рис. 2.6. показан график пройденного ею пути s в от времени (за время от 0 до t ). Используя физический смысл скорости, найти с помощью этого графика момент времени , в который мгновенная скорость равна средней путевой скорости за первые секунд движения точки.

Рис. 2.6. Определение мгновенной и средней скорости тела

Модуль скорости в данный момент времени

будучи производной пути по времени, равен угловому коэффициенту качательной к графику зависисмости точке соответствующей моменту времени t* . Средний модуль скорости за промежуток времени от 0 до t* есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки того же графика, соответствующие началу t = 0 и концу t = t* временного интервала. Нам надо найти такой момент времени t* , когда оба угловых коэффициента совпадают. Для этого через начало координат проводим прямую, касательную к траектории. Как видно из рисунка точка касания этой прямой графика s(t) и дает t* . В нашем примере получается

Скорость

Средняя скорость частицы характеризует быстроту ее движения за конечный промежуток времени. Неограниченно уменьшая этот промежуток, мы придем к физической величине, характеризующей быстроту движения в данный момент времени. Такая величина называется мгновенной скоростью или просто скоростью:

обозначает математическую операцию перехода к пределу. Под этим символом записывается условие, при котором выполняется данный предельный переход; в рассматриваемом случае это стремление к нулю промежутка времени. При вычислении скорости по этому правилу мы убедимся, что уменьшение промежутка времени приводит к тому, что на некотором этапе получаемые очередные значения средней скорости будут все меньше и меньше отличаться друг от друга. Поэтому на практике при нахождении скорости можно остановиться на конечном значении, достаточно малом для получения требуемой точности значения скорости.

Вектор скорости и траектория.

Рассматриваемый предельный переход имеет ясный геометрический смысл. Поскольку вектор перемещения направлен по хорде, соединяющей две точки траектории, то при сближении этих точек, происходящем при, он принимает положение, соответствующее касательной к траектории в данной точке. Это значит, что вектор скорости направлен по касательной к траектории. Так будет в любой точке траектории (рис. 14). При прямолинейной траектории движения вектор скорости направлен вдоль этой прямой.

Скорость прохождения пути.

Аналогичным переходом определяется мгновенная скорость прохождения пути:

Для плавной кривой, каковой является траектория любого непрерывного механического движения, длина дуги тем меньше отличается от длины стягивающей ее хорды, чем короче эта дуга. В пределе эти длины совпадают. Поэтому при можно считать, что. Это означает, что скорость прохождения пути равна модулю мгновенной скорости. Движение, при котором модуль скорости остается неизменным, называется равномерным. В случае прямолинейной траектории при равномерном движении вектор скорости постоянен, а в случае криволинейной траектории изменяется только его направление.

Сложение скоростей.

Если тело одновременно участвует в нескольких движениях, то его скорость равна векторной сумме скоростей каждого из этих движений. Это непосредственно следует из правила сложения перемещений: так как, то после деления на получаем

Иногда бывает удобно представить некоторое сложное движение как суперпозицию, т. е. наложение двух простых движений. В этом случае равенство (3) можно трактовать как правило разложения вектора скорости на составляющие.

Задачи.

Переправа через реку. Скорость течения в реке с параллельными берегами всюду одинакова и равна. Ширина реки (рис. 15). Катер может плыть со скоростью относительно воды. На какое расстояние s снесет катер вниз по течению реки, если при переправе нос катера направить строго поперек берегов?

Катер участвует одновременно в двух движениях: со скоростью, направленной поперек течения, и вместе с водой со скоростью которая направлена параллельно берегу. В соответствии с правилом сложения скоростей полная скорость катера относительно берегов равна векторной сумме (рис. 16). Очевидно, что движение катера происходит по прямой, направленной вдоль вектора. Искомое расстояние s, на которое снесет катер при переправе, можно найти из подобия треугольника, образованному векторами скоростей:

Эту задачу легко решить и не прибегая к сложению векторов скоростей. Очевидно, что расстояние s равно произведению скорости течения на время в течение которого катер пересекает реку. Это время можно найти, разделив ширину реки на скорость движения катера поперек реки. Таким образом, находим Рис. 16. Сложение скоростей при переправе через.В этой простой задаче второй способ решения предпочтительнее, так как он проще. Однако уже при небольшом усложнении условия задачи становятся отчетливо видны преимущества первого способа, основанного на сложении векторов скоростей.

2. Переправа поперек реки. Предположим, что теперь нам нужно переправиться на катере через ту же реку точно поперек, т. е. попасть в точку В, лежащую напротив начальной точки А (рис. 17). Как нужно направить нос катера при переправе? Сколько времени займет такая переправа?Решение. В рассматриваемом случае полная скорость v катера относительно берегов, равная векторной сумме скоростей должна быть направлена поперек реки.

Из рис. 17 сразу видно, что вектор, вдоль которого и смотрит нос катера, должен отклоняться на некоторый угол а вверх по течению реки от направления. Синус этого угла равен отношению модулей скоростей течения и катера относительно воды. Переправа поперек реки без сноса возможна только в том случае, когда скорость катера относительно воды больше скорости течения. Это сразу видно либо из треугольника скоростей на рис. 17 (гипотенуза всегда больше катета), либо из формулы (синус угла а должен быть меньше единицы).Время переправы найдем, разделив ширину реки на полную скорость катера по теореме Пифагора.

3. Снос при быстром течении.

Предположим теперь, что скорость катера относительно воды меньше скорости течения: В таком случае переправа без сноса невозможна. Как следует направить нос катера при переправе, чтобы снос получился минимальным? На какое расстояние этом снесет катер? Решение. Полная скорость относительно берегов во всех рассматриваемых случаях дается формулой. Однако теперь нагляднее выполнить сложение векторов и по правилу треугольника (рис. 18) первым изображаем век гор для которого мы знаем модуль направление, а затем к его концу пристраиваем начало вектора известен только модуль, направление еще предстоит выбрать. Этот выбор нужно сделать так, вектор результирующей скорости как можно меньше отклонялся от направления поперек реки.

Рис. 19. Определение курса (направление вектора) переправы минимальным сносом 18. Сложение скоростей переправе Конец любом направлении должен лежать на окружности радиуса центр которой совпадает концом вектора. Эта окружность показана Так условию задачи то точка соответствующая началу лежит вне этой окружности. Из рисунка видно, что образует прямой наименьший угол тогда, когда он направлен касательной Следовательно, перпендикулярен вектору треугольник прямоугольный. Таким образом, направлять вверх течению под углом линии Синус этого угла дастся выражением Траектория направлена вдоль вектора, т.е. она перпендикулярна направлению, в котором смотрит катера. Это значит, своей траектории катер движется боком. другом берегу реки причалит точке, до найти из подобия треугольников. Модуль находится теореме Пифагора. результате получаем

4. Лодка тросе. Лодку подтягивают за привязанный носу трос, наматывая равномерно вращающийся барабан Барабан установлен высоком берегу. какой скоростью лодка тот момент, трос горизонтом? Трос выбирается барабаном скоростью.

Решение.

Точка троса, где он привязан к лодке, движется с той же скоростью, что и лодка. Эта скорость v направлена горизонтально. Чтобы связать ее со скоростью выбирания троса, нужно сообразить, что движение троса сводится к повороту вокруг точки В, где он касается барабана, и скольжению вдоль собственного направления, т. е. прямой. Поэтому естественно разложить скорость точки на две составляющие, направленные вдоль и поперек троса (рис. 21). Скорость, направленная поперек, связана с поворотом троса. Модуль скорости направленной вдоль троса, - это и есть данное в условии задачи значение скорости.

По мере приближения лодки к берегу угол а становится больше. Это значит, что cos а убывает и искомая скорость возрастает. Задача для самостоятельного решения Человек находится в поле на расстоянии от прямолинейного участка шоссе. Слева от себя он замечает движущийся по шоссе автомобиль. В каком направлении следует бежать к шоссе, чтобы выбежать на дорогу впереди автомобиля и как можно дальше от него? Скорость автомобиля и, скорость человека.

Объясните, почему вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории.

В некоторых случаях траектория движения частицы может иметь изломы. Приведите примеры таких движений. Что можно сказать о направлении скорости в точках, где траектория имеет излом?

В случае непрерывного механического движения вектор скорости не испытывает скачков ни по модулю, ни по направлению. Появление скачков скорости всегда связано с некоторой идеализацией реального процесса. Какие идеализации присутствовали в приведенных вами примерах траекторий с изломами?

Найдите ошибку в приводимом ниже решении задачи 4. Разложим скорость, точки троса на вертикальную и горизонтальную составляющие (рис. 22). Горизонтальная составляющая это и есть искомая скорость лодки. Поэтому и (неверно!).

Скорость как производная.

Вернемся к выражению (1) для мгновенной скорости. При движении частицы ее радиус-вектор г изменяется, т. е. является некоторой функцией времени:. Перемещение Дг за промежуток времени At представляет собой разность радиусов-векторов в моменты времени. Поэтому формулу (1) можно переписать в виде В математике такую величину называют производной от функции по времени Для нее используют следующие обозначения. Последнее обозначение (точка над буквой) характерно именно для производной по времени. Отметим, что в данном случае производная представляет собой вектор, так как получается в результате дифференцирования векторной функции по скалярному аргументу. Для модуля мгновенной скорости в соответствии справедливо выражение в начале статьи.

Положение материальной точки в пространстве в данный момент времени определяется по отношению к какому-либо другому телу, которое называется телом отсчета .

С ним связывается система отсчета - совокупность системы координат и часов, связанных с телом, по отношению к которому изучается движение каких-нибудь других материальных точек. Выбор системы отсчета зависит от задач исследования. При кинематических исследованиях все системы отсчета равноправны (декартовая, полярная). В задачах динамики преимущественную роль играют инерциальные системы отсчета , по отношению к которым дифференциальные уравнения движения имеют более простой вид.

В декартовой системе координат положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе определяется тремя координатами х , у и z , или радиусом-вектором (рис. 1.1). При движении материальной точки ее координаты с течением времени изменяются. В общем случае ее движение определяется уравнениями

или векторным уравнением

=(t) . (1.2)

Эти уравнения называются кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Исключая время t в системе уравнений (1.1), получим уравнение траектории движения материальной точки. Например, если кинематические уравнения движения точки заданы в форме:

то, исключая t , получим:

т.е. точка движется в плоскости z = 0 по эллиптической траектории с полуосями, равными a и b .

Траекторией движения материальной точки называется линия, описываемая этой точкой в пространстве. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным и криволинейным .

Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории АВ (рис. 1.2). Отсчет времени начнем с момента, когда точка находилась в положении А (t = 0). Длина участка траектории АВ , пройденного материальной точкой с момента t = 0, называется длиной пути и является скалярной функцией времени . Вектор , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени, называется вектором перемещения . При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и его модуль равен пройденному пути .

Скорость - это векторная физическая величина, введенная для определения быстроты движения и его направления в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории и в момент времени t ей соответствует радиус-вектор . (рис. 1.3). В течение малого интервала времени точка пройдет путь и получит бесконечно малое перемещение . Различают среднюю и мгновенную скорости.

Вектором средней скорости называется отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени :

Вектор направлен так же, как . При неограниченном уменьшении , средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью или просто скоростью :

Таким образом, скорость - это векторная величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения.

По мере уменьшения длина дуги все более приближается к длине стягивающей ее хорды, т.е. численное значение скорости материальной точки равно первой производной длины ее пути по времени:

Таким образом,

Из выражения (1.5) получаем Интегрируя по времени от до , найдем длину пути, пройденного материальной точкой за время :

Если направление вектора мгновенной скорости во время движения материальной точки не изменяется, это означает, что точка движется по траектории, касательные к которой во всех точках имеют одно и то же направление. Таким свойством обладают только прямолинейные траектории. Значит, рассматриваемое движение будет прямолинейным .

Если направление вектора скорости материальной точки изменяется с течением времени, точка будет описывать криволинейную траекторию.

Если численное значение мгновенной скорости точки остается во время движения постоянным, то такое движение называется равномерным . В этом случае

Это означает, что за произвольные равные промежутки времени материальная точка проходит пути равной длины.

Если за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее скорости с течением времени изменяется. Такое движение называется неравномерным . В этом случае пользуются скалярной величиной, называемой средней скоростью неравномерного движения на данном участке траектории. Она равна численному значению скорости такого равномерного движения, при котором на прохождение пути затрачивается то же время , что и при заданном неравномерном движении:

Если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то по закону независимости движений ее результирующее перемещение равно векторной сумме перемещений, совершаемых ею за то же время в каждом из движений в отдельности. Поэтому скорость результирующего движения находится как векторная сумма скоростей всех тех движений, в которых материальная точка участвует.

В природе чаще всего наблюдаются движения, в которых скорость изменяется как по величине (модулю), так и по направлению, т.е. приходится иметь дело с неравномерными движениями. Для характеристики изменения скорости таких движений вводится понятие ускорения .

Пусть за время движущаяся точка перешла из положения А в положение В (рис. 1.4). Вектор задает скорость точки в положении А . В положении В точка приобрела скорость, отличную от как по величине, так и по направлению и стала равной . Перенесем вектор в точку А и найдем .

Средним ускорением неравномерного движения в интервале времени от до называется векторная величина, равная отношению изменения скорости к интервалу времени :

Очевидно, что вектор совпадает по направлению с вектором изменения скорости .

Мгновенным ускорением или ускорением материальной точки в момент времени будет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор на две составляющие. Для этого из точки А по направлению скорости отложим вектор , по модулю равный . Тогда вектор , равный , определяет изменение скорости по модулю (величине) за время , т.е. . Вторая же составляющая вектора характеризует изменение скорости на время по направлению - .

Составляющая ускорения, определяющая изменение скорости по величине, называется тангенциальной составляющей . Численно она равна первой производной по времени от модуля скорости:

Найдем вторую составляющую ускорения, называемую нормальной составляющей . Допустим, что точка В достаточно близка к точке А , поэтому путь можно считать дугой окружности некоторого радиуса r , мало отличающегося от хорды АВ . Из подобия треугольников АОВ и ЕАD следует, что

откуда В пределе при поэтому вторая составляющая ускорения равна:

Она по направлению и направлена к центру кривизны траектории по нормали. Ее называют также центростремительным ускорением .

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

Из рис. 1.5 следует, что модуль полного ускорения равен:

Направление полного ускорения определяется углом между векторами и . Очевидно, что

В зависимости от значений тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение тела классифицируется по-разному. Если (величина скорости не изменяется по величине), движение является равномерным . Если > 0, движение называется ускоренным , если < 0 - замедленным . Если = const0, то движение называется равнопеременным . Наконец, в любом прямолинейном движении (нет изменения направления скорости).

Таким образом, движение материальной точки может быть следующих видов:

1) - прямолинейное равномерное движение ();

2) - прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

Если начальный момент времени , а начальная скорость , то, обозначив и , получим:

откуда . (1.16)

Проинтегрировав это выражение в пределах от нуля до произвольного момента времени, получим формулу для нахождения длины пути, пройденного точкой при равнопеременном движении:

3) - прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) - скорость по модулю не изменяется, откуда видно, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, данное движение по окружности является равномерным;

5) - равномерное криволинейное движение;

6) - криволинейное равнопеременное движение;

7) - криволинейное движение с переменным ускорением.

Кинематика вращательного движения твердого тела

Как уже отмечалось, вращательным движением абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных к неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси (рис. 1.6). Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка А движется по окружности радиуса R . Ее положение через промежуток времени зададим углом .

Угловой скоростью вращения называется вектор, численно равный первой производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:

Единица измерения угловой скорости радиан в секунду (рад/с).

Таким образом, вектор определяет направление и быстроту вращения. Если , то вращение называется равномерным .

Угловая скорость может быть связана с линейной скоростью произвольной точки А. Пусть за время точка проходит по дуге окружности длину пути . Тогда линейная скорость точки будет равна:

При равномерном вращении его можно охарактеризовать периодом вращения Т - временем, за которое точка тела совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2π:

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения :

Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения . Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора угловой скорости (рис. 1.7); при ускоренном движении вектор направлен в ту же сторону, что и , и в противоположную сторону при замедленном вращении .

Выразим тангенциальную и нормальную составляющие ускорения точки А вращающегося тела через угловую скорость и угловое ускорение:

В случае равнопеременного движения точки по окружности ():

где начальная угловая скорость.

Поступательное и вращательное движения твердого тела являются лишь простейшими типами его движения. В общем случае движение твердого тела может быть весьма сложным. Однако в теоретической механике доказывается, что любое сложное движение твердого тела можно представить как совокупность поступательного и вращательного движений.

Кинематические уравнения поступательного и вращательного движений сведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Поступательное	Вращательное
Равномерное
Равнопеременное
Неравномерное

Краткие выводы:

Часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение, называется механикой . Классическая механика (механика Ньютона-Галилея) изучает законы движения макроскопических тел, скорости которых малы по сравнению со скоростью света в вакууме.

- Кинематик - раздел механики, предметом изучения которого является движение тел без рассмотрения причин, которыми это движение обусловлено.

В механике для описания движения тел в зависимости от условий конкретных задач используются различные физические модели : материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело.

Движение тел происходит в пространстве и во времени. Поэтому для описания движения материальной точки надо знать, в каких местах пространства эта точка находилась и в какие моменты времени она проходила то или иное положение. Совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и синхронизированных между собой часов называется системой отсчета .

Вектор , проведенный из начального положения движущейся точки в положение ее в данный момент времени называется вектором перемещения . Линия, описываемая движущейся материальной точкой (телом) относительно выбранной системы отсчета называется траекторией движения . В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Длина участка траектории, пройденного материальной точкой за данный промежуток времени, называется длиной пути .

- Скорость - это векторная физическая величина, которая характеризует быстроту движения и его направление в данный момент времени. Мгновенная скорость определяется первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени:

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения. Модуль мгновенной скорости материальной точки равен первой производной длины ее пути по времени:

- Ускорение - векторная физическая величина для характеристики неравномерного движения. Она определяет быстроту изменения скорости по модулю и направлению. Мгновенное ускорение - векторная величина, равная первой производной скорости по времени:

Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по величине (направлена по касательной к траектории движения):

Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории):

Полное ускорение при криволинейном движении - геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

3. Что представляет собой система отсчета? Что называется вектором перемещения?

4. Какое движение называется поступательным? Вращательным?

5. Что характеризуют скорость и ускорение? Дайте определения средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения.

6. Составьте уравнение траектории движения тела, брошенного горизонтально со скоростью v 0 с некоторой высоты. Сопротивление воздуха не учитывать.

7. Что характеризуют тангенциальная и нормальная составляющие ускорения? Каковы их модули?

8. Как можно классифицировать движение в зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения?

9. Что называется угловой скоростью и угловым ускорением? Как определяются их направления?

10. Какими формулами связаны между собой линейные и угловые характеристики движения?

Примеры решения задач

Задача 1 . Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол, под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна 1/4 дальности его полета (рис. 1.8).

Кинематика точки, кинематика твердого тела, поступательное движение, вращательное движение, плоскопараллельное движение, теорема о проекциях скоростей, мгновенный центр скоростей, определение скорости и ускорений точек плоского тела, сложное движение точки

Содержание

Кинематика твердого тела

Чтобы однозначно определить положение твердого тела, нужно указать три координаты (x A , y A , z A ) одной из точек A тела и три угла поворота. Таким образом, положение твердого тела определяется шестью координатами. То есть твердое тело имеет шесть степеней свободы.

В общем случае, зависимость координат точек твердого тела относительно неподвижной системы координат определяется довольно громоздкими формулами. Однако скорости и ускорения точек определяются довольно просто. Для этого нужно знать зависимость координат от времени одной, произвольным образом выбранной, точки A и вектора угловой скорости . Дифференцируя по времени, находим скорость и ускорение точки A и угловое ускорение тела :
; ; .
Тогда скорость и ускорение точки тела с радиус вектором определяется по формулам:
(1) ;
(2) .
Здесь и далее, произведения векторов в квадратных скобках означают векторные произведения.

Отметим, что вектор угловой скорости одинаков для всех точек тела . Он не зависит от координат точек тела. Также вектор углового ускорения одинаков для всех точек тела .

См. вывод формул (1) и (2) на странице: Скорость и ускорение точек твердого тела > > >

Поступательное движение твердого тела

При поступательном движении, угловая скорость равна нулю. Скорости всех точек тела равны. Любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Таким образом, для изучения движения твердого тела при поступательном движении, достаточно изучить движение одной любой точки этого тела. См. раздел .

Равноускоренное движение

Рассмотрим случай равноускоренного движения. Пусть проекция ускорения точки тела на ось x постоянна и равна a x . Тогда проекция скорости v x и x - координата этой точки зависят от времени t по закону:
v x = v x0 + a x t ;
,
где v x0 и x 0 - скорость и координата точки в начальный момент времени t = 0 .

Вращательное движение твердого тела

Рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Выберем неподвижную систему координат Oxyz с центром в точке O . Направим ось z вдоль оси вращения. Считаем, что z - координаты всех точек тела остаются постоянными. Тогда движение происходит в плоскости xy . Угловая скорость ω и угловое ускорение ε направлены вдоль оси z :
; .
Пусть φ - угол поворота тела, который зависит от времени t . Дифференцируя по времени, находим проекции угловой скорости и углового ускорения на ось z :
;
.

Рассмотрим движение точки M , которая находится на расстоянии r от оси вращения. Траекторией движения является окружность (или дуга окружности) радиуса r .
Скорость точки :
v = ω r .
Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
Касательное ускорение :
a τ = ε r .
Касательное ускорение также направлено по касательной к траектории.
Нормальное ускорение :
.
Оно направлено к оси вращения O .
Полное ускорение :
.
Поскольку векторы и перпендикулярны друг другу, то модуль ускорения :
.

Равноускоренное движение

В случае равноускоренного движения, при котором угловое ускорение постоянно и равно ε , угловая скорость ω и угол поворота φ изменяются со временем t по закону:
ω = ω 0 + ε t ;
,
где ω 0 и φ 0 - угловая скорость и угол поворота в начальный момент времени t = 0 .

Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным или плоским называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости. Выберем прямоугольную систему координат Oxyz . Оси x и y расположим в плоскости, в которой происходит перемещение точек тела. Тогда все z - координаты точек тела остаются постоянными, z - компоненты скоростей и ускорений равны нулю. Векторы угловой скорости и углового ускорения наоборот, направлены вдоль оси z . Их x и y компоненты равны нулю.

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.
v A cos α = v B cos β .

Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.

Чтобы определить положение мгновенного центра скоростей P плоской фигуры, нужно знать только направления скоростей и двух его точек A и B . Для этого через точку A проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости . Через точку B проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости . Точка пересечения этих прямых есть мгновенный центр скоростей P . Угловая скорость вращения тела:
.

Если скорости двух точек параллельны друг другу, то ω = 0 . Скорости всех точек тела равны друг другу (в данный момент времени).

Если известна скорость какой либо точки A плоского тела и его угловая скорость ω , то скорость произвольной точки M определяется по формуле (1) , которую можно представить в виде суммы поступательного и вращательного движения:
,
где - скорость вращательного движения точки M относительно точки A . То есть скорость, которую имела бы точка M при вращении по окружности радиуса |AM| с угловой скоростью ω , если бы точка A была неподвижной.
Модуль относительной скорости:
v MA = ω |AM| .
Вектор направлен по касательной к окружности радиуса |AM| с центром в точке A .

Определение ускорений точек плоского тела выполняется с применением формулы (2) . Ускорение любой точки M равно векторной сумме ускорения некоторой точки A и ускорения точки M при вращении вокруг точки A , считая точку A неподвижной:
.
можно разложить на касательное и нормальное ускорения:
.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Нормальное ускорение направлено из точки M к точке A . Здесь ω и ε - угловая скорость и угловое ускорение тела.

Сложное движение точки

Пусть O 1 x 1 y 1 z 1 - неподвижная прямоугольная система координат. Скорость и ускорение точки M в этой системе координат будем называть абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .

Пусть Oxyz - подвижная прямоугольная система координат, скажем, жестко связанная с неким твердым телом, движущимся относительно системы O 1 x 1 y 1 z 1 . Скорость и ускорение точки M в системе координат Oxyz будем называть относительной скоростью и относительным ускорением . Пусть - угловая скорость вращения системы Oxyz относительно O 1 x 1 y 1 z 1 .

Рассмотрим точку, совпадающую, в данный момент времени, с точкой M и неподвижной, относительно системы Oxyz (точка, жестко связанная с твердым телом). Скорость и ускорение такой точки в системе координат O 1 x 1 y 1 z 1 будем называть переносной скоростью и переносным ускорением .

Теорема о сложении скоростей

Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
- кориолисово ускорение.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.