ЧАСТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

ЧАСТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ: 1°. Частная производная функции1501нескольких переменных по переменному хi в точке1502конечныи предел1503 1504частное приращение (см.) функции u в точке М0 ; при этом предполагается, что функция u определена в некоторой окрестности (см.) точки М0 . Частная производная по хi является производной (см.) функции15051506одного переменного хi в точке xi0  (остальные переменные зафиксированы на значениях)1507Частная производная есть функция координат точки М0 , т. е. является функцией тех же переменных х1, х2,…,хn , что и функция u. Для обозначения частной производной приняты символы:1508(использовать для частной производной круглое ∂ вместо прямого d в обозначении обычной производной предложил Якоби),15091510В случае функции u=f(x, у) двух переменных частная производная ∂u/∂x в точке ( х0, у0 ) имеет такой геометрический смысл: плоскость у=у0 пересекает поверхность u=f(x, у) по некоторой кривой L; если ∂u/∂x существует, то существует касательная в точке М [ х0, у0 , f( х0, у0 )] к кривой L, причем если α есть угол, образуемый этой касательной с плоскостью хОу, то ∂u/∂x—=tgα (рис. 317).15112°. Частная производная высшего порядка. Частная производная 2-го порядка от функции u=f(х, у, z) по переменным х и у определяется как частная производная по у от Ч. п. данной функции по х и обозначается1512Таким образом,1513Аналогично определяется частная производная 2-го порядка по другим парам переменных (взятых в определенном порядке):1514(короче обозначается1515и т. д. — всего 9=3² производных 2-го порядка от функции u=f(x, у, z). Частная производная 3-го порядка определяется как частная производная от частной производной 2-го порядка и обозначается аналогично предыдущему, например:1516и т. д.—всего 27=3³ производных 3-го порядка.
Аналогично определяется и обозначается частная производная 4-го, 5-го и т. д. порядков для функции u=f( х1, х2,…,хn ) от n переменных. Частная производная k-ro порядка от функции n переменных будет nк . Однако при широких условиях число различных частных производных k-ro порядка значительно уменьшается (см. Перестановка дифференцирований). Приведем формальное индуктивное определение (см.) Частная производная высшего порядка. Частная производная 1-го порядка по переменному хi в точке1517от функции u=f( х1, х2,…,хn ) называется частная производная по переменному хi в точке М0 от функции u=f( х1, х2,…,хn ). Частная производная k-го порядка по переменным1518образуют некоторое размещение с повторениями (см.) из цифр 1, 2, . . n] в точке  М0 от функции u=f( х1, х2,…,хn ) называется частной производной по переменному в точке М0 от функции, являющейся Ч. п. (k— l)-ro порядка по переменным1519от функции u=f( х1, х2,…,хn ) , предполагая, что эта частная производная (k — 1)-го порядка существует во всех точках некоторой окрестности точки М0 . Эта частная производная k-ro порядка обозначается символом:1520Как следует из определения, для существования k-й частной производной в точке М0 необходимо существование предыдущей частной производной в некоторой окрестности точки М0 .

Комментарии для сайта Cackle