АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — основное понятие теории функций комплексного переменного. Однозначная функция w = f(z) комплексного переменного y = x + iy называется аналитической функцией в точке Z0  если в некотором круге

66с центром Z0  и радиусом r >0 она определена и представима степенным рядом:

67(этот ряд обязательно является рядом Тейлора). Функция f(z) называется аналитической функцией в области D плоскости комплексного переменного, если она аналитична в каждой точке области D. Аналитическая функция в точке Z0 является аналитической функцией в некоторой окрестности этой точки. Аналогично определяется понятие аналитической функцией действительного переменного y = f(x) где требуется сходимость степенного ряда к f (х) не в круге, а в интервале

68Аналитическая функция в области D имеет в каждой точке Z0 области D конечную производную:

69верно и обратное: если

70существует и конечна в D, то f(z) является аналитической функцией в области поэтому понятие однозначной аналитической функцией совпадает с понятием голоморфной функции (см.).

Аналитическая функция в связной области D однозначно определена, если заданы ее значения для бесконечного множества точек, имеющего предельную точку внутри области D; в частности, аналитическая функция определяется своими значениями в произвольно малой окрестности или на произвольно малой дуге, лежащими в D. Это свойство, называемое теоремой единственности аналитической функцией, показывает, насколько тесно значения аналитической функцией связаны между собой. Например, аналитическая функция у=f (х) действительного переменного может быть распространена в аналитической функцией комплексного переменного лишь единственным образом (см. Аналитическое продолжение).

Интеграл от аналитической функцией в односвязной области D по любому замкнутому контуру равен нулю (теорема Коши); обратное утверждение также справедливо, если предполагать f(z) непрерывной в области D (теорема Морера). Аналитическая функция имеет производные всех порядков, которые также являются аналитическими функциями в той же области.

Для того чтобы функция w=f (z) (которую всегда можно задать парой функций u(х, у) и v(х, у) двух действительных переменных х, у) была аналитической функцией в области D, необходимо и достаточно, чтобы в области D функции u (х, у) v(х, у) были дифференцируемы и

71(уcловия Коши — Римана, или, точнее, Даламбера — Эйлера). При выполнении этого условия u (х, у) и v (х, у) составляют пару сопряженных гармонических функций.

Аналитическая функция w=f(z), не принимающая одинаковых значений в связной области D (однолистная), дает конформное отображение области D плоскости z на область D1 плоскости w.
Многозначная (может быть бесконечнозначная) функция, полученная аналитическим продолжением (см.) аналитическая функция, также называется аналитической функцией; каждая однозначная ветвь функции y = f(z) является однозначной аналитической функции.

Многозначная (быть может однозначная или бесконечнозначная) функция y= f(z), полученная из аналитической функции всевозможными аналитическими продолжениями, называется полной аналитической функцией в смысле Вейерштрасса. К классу аналитических функций принадлежит большинство элементарных функций, например

72и многие неэлементарные, например гамма-функция, эллиптические функции, бесселевы функции. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа аналитических функций яапяются аналитическая функция, частное аналитических функций есть аналитическая функция (в области, где знаменатель отличен от нуля). Сложная функция

73составленная из аналитических функций

222является аналитической функцией.