АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ плоскости α в плоскость α’ (или плоскости α в себя, или пространства в себя) есть произведение перспективно-аффинных преобразований (параллельных проекций).

Если точки А, В, С, .. . плоскости α проектируются в направлении ℓ в точки

1плоскости α0 (рис. 19), а точки

1проектируются параллельной проекцией в направлении ℓ’ в точки А’, В’, С, … на плоскость α’, то соответствие между плоскостями α и α’, в котором точкам А, В, С, … плоскости α сопоставляются точки А’, В’, С’, . . . плоскости α’, будет аффинным.

2При аффинных преобразованиях плоскости прямые переходят в прямые, точки в точки, параллельные прямые переходят в параллельные, сохраняется инцидентность точек и прямых и сохраняется простое отношение трех точек (основной инвариант аффинных преобразований). Поэтому при аффинных преобразованиях плоскости трапеция перейдет в трапецию, квадрат в параллелограмм. Аффинные преобразования двух плоскостей или плоскости в себя задается тремя парами соответственных точек: (А, А’), (В. В’) и (С, С’), из которых никакие три точки одной плоскости не коллинеарны; другими словами, аффинное преобразование плоскости задается двумя невырожденными треугольниками ∆ АВС и ∆ А’В’С’.
Аффинные преобразования образуют группу.
Аффинные преобразования плоскости α в плоскость α’ можно определить аналитически,—как такое, при котором координаты точки (х’, у’) плоскости α’ и точки (х, у) плоскости α связаны линейными формулами:

3Отношение площадей двух фигур при аффинном преобразовании остается неизменным, т. е. является инвариантом аффинного преобразования; Аффинное преобразование плоскости в себя могут как изменять, так и не изменять ориентацию фигуры.
Наиболее важные аффинные преобразования — это сжатие плоскости к прямой, сдвиг, гомотетия, симметрия. Таким образом, все преобразования, изучаемые в элементарной геометрии средней школы, являются частными случаями аффинных преобразований.
При аффинном преобразовании плоскости эллипс переходит в эллипс (в частности, в окружность); поэтому эллипс и окружность — аффинно-родственные фигуры (или аффинно-равные). Парабола при аффинном преобразовании переходит в любую другую параболу, гипербола — в гиперболу. Поэтому все эллипсы составляют один аффинный тип (класс) кривых второго порядка, параболы — другой аффинный тип и гиперболы— третий тип кривых. При аффинном преобразовании кривая одного аффинного типа не может перейти в кривую другого аффинного типа.
Аффинное преобразование часто используется как метод решения геометрических задач; при этом данную фигуру аффинно преобразуют в более простую, где находят указанное свойство, а затем выполняют обратное аффинное преобразование и находят искомое свойство данной фигуры.
Так, например, задачу: построить касательную из данной точки М к эллипсу, если он задан парой сопряженных диаметров,—можно решить, если один из диаметров принять за ось родства и диаметр окружности, родственной данному эллипсу. Тогда сопряженные диаметры эллипса перейдут в перпендикулярные диаметры окружности; точка М перейдет в выбранном родстве в некоторую точку M’. Построив касательную к окружности из М’, строим ей аффинно-соответственную прямую, которая и будет искомой касательной к эллипсу.
Лат. аffinus — родственный, соответственный.