Решение сравнений и их приложения. Системы сравнений Примеры использования сравнения по модулю

Сравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид:

f (x ) 0 (mod m ); f (х ) = ах + а n . (1)

Решить сравнение – значит найти все значения х, ему удовлетворяющие. Два сравнения, которым удовлетворяют одни и те же значения х, называются равносильными .

Если сравнению (1) удовлетворяет какое-либо x = x 1, то (согласно 49) тому же сравнению будут удовлетворять и все числа, сравнимые с x 1 , по модулю m : x x 1 (mod m ). Весь этот класс чисел считается за одно решение . При таком соглашении можно сделать следующий вывод.

66.Сравнение (1) будет иметь столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет .

Пример. Сравнению

6x – 4 0 (mod 8)

среди чисел 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 полной системы вычетов по модулю 8 удовлетворяют два числа: х = 2 и х = 6. Поэтому указанное сравнение имеет два решения:

x 2 (mod 8), х 6 (mod 8).

Сравнение первой степени перенесением свободного члена (с обратным знаком) в правую часть можно привести к виду

ax b (mod m ). (2)

Рассмотрим сравнение, удовлетворяющее условию (а , m ) = 1.

Согласно 66 наше сравнение имеет столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет. Но когда x пробегает полную систему вычетов по модулю т, то ах пробегает полную систему вычетов (из 60). Следовательно, при одном и только одном значении х, взятом из полной системы, ах будет сравнимо с b. Итак,

67. При (а, m) = 1 сравнение ax b (mod m ) имеет одно решение.

Пусть теперь (a , m ) = d > 1. Тогда, чтобы сравнение (2) имело решения, необходимо (из 55), чтобы b делилось на d, иначе сравнение (2) невозможно ни при каком целом х. Предполагая, поэтому b кратным d, положим a = a 1 d , b = b 1 d , m = m 1 d. Тогда сравнение (2) будет равносильно такому (по сокращении на d ): a 1 x b 1 (mod m ), в котором уже (а 1 , m 1) = 1, и потому оно будет иметь одно решение по модулю m 1 . Пусть х 1 – наименьший неотрицательный вычет этого решения по модулю m 1, тогда все числа х, образующие это решение, найдутся в виде

x x 1 (mod m 1). (3)

По модулю же mчисла (3) образуют не одно решение, а больше, именно столько решений, сколько чисел (3) найдется в ряде 0, 1, 2, ..., m – 1 наименьших неотрицательных вычетов по модулю m. Но сюда попадут следующие числа (3):

x 1 , x 1 + m 1 , x 1 + 2m 1 , ..., x 1 + (d – 1) m 1 ,

т.е. всего d чисел (3); следовательно, сравнение (2) имеет d решений.

Получаем теорему:

68. Пусть (a, m) = d. Сравнение ax b (mod m) невозможно, если b не делится на d. При b, кратном d, сравнение имеет d решений..

69.Способ решения сравнения первой степени, основанный на теории непрерывных дробей:

Разлагая в непрерывную дробь отношение m:а ,

и рассматривая две последние подходящие дроби:

согласно свойствам непрерывных дробей (согласно 30 ) имеем

Итак, сравнение имеет решение

для разыскания, которого достаточно вычислить P n – 1 согласно способу, указанному в 30.

Пример. Решим сравнение

111x = 75 (mod 321). (4)

Здесь (111, 321) = 3, причем 75 кратно 3. Поэтому сравнение имеет три решения.

Деля обе части сравнения и модуль на 3, получим сравнение

37x = 25 (mod 107), (5)

которое нам следует сначала решить. Имеем

q
P 3

Значит, в данном случае n = 4, P n – 1 = 26, b = 25, и мы имеем решение сравнения (5) в виде

x –26 ∙ 25 99 (mod 107).

Отсюда решения сравнения (4) представляются так:

х 99; 99 + 107; 99 + 2 ∙ 107 (mod 321),

х º99; 206; 313 (mod 321).

Вычисление обратного элемента по заданному модулю

70.Если целые числа a и n взаимно просты, то существует число a′ , удовлетворяющее сравнению a ∙ a′ ≡ 1(mod n ). Число a′ называется мультипликативным обратным к a по модулю n и для него используется обозначение a - 1 (mod n ).

Вычисление обратных величин по некоторому модулю может быть выполнено решением сравнения первой степени с одним неизвестным, в котором за x принимается число a′ .

Чтобы найти решение сравнения

a ∙x ≡ 1(mod m ),

где (a,m )= 1,

можно воспользоваться алгоритмом Евклида (69) или теоремой Ферма-Эйлера, которая утверждает, что если (a,m ) = 1, то

a φ( m ) ≡ 1(mod m ).

x ≡ a φ( m )–1 (mod m ).

Группы и их свойства

Группы – один из таксономических классов, используемых при классификации математических структур с общими характерными свойствами. Группы имеют две составляющие: множество (G ) и операции (), определенные на этом множестве.

Понятия множества, элемента и принадлежности являются базисными неопределяемыми понятиями современной математики. Любое множество определяется элементами, входящими в него (которые, в свою очередь, тоже могут быть множествами). Таким образом, мы говорим, что множество определено или задано, если для любого элемента мы можем сказать, принадлежит ли он этому множеству или нет.

Для двух множеств A, B записи B A , B A , B ∩ A , B A , B \ A , A × B означают соответственно, что B является подмножеством множества A (т.е. любой элемент из B содержится также и в A , например, множество натуральных чисел содержится в множестве действительных чисел; кроме того, всегда A A ), B является собственным подмножеством множества A (т.е. B A и B ≠ A ), пересечение множеств B и A (т.е. все такие элементы, которые лежат одновременно и в A , и в B , например пересечение целых чисел и положительных действительных чисел есть множество натуральных чисел), объединение множеств B и A (т.е. множество, состоящее из элементов, которые лежат либо в A , либо в B ), разность множеств B и A (т.е. множество элементов, которые лежат в B , но не лежат в A ), декартово произведение множеств A и B (т.е. множество пар вида (a , b ), где a A , b B ). Через |A | всегда обозначается мощность множества A , т.е. количество элементов в множестве A .

Операция – это правило, согласно которому любым двум элементам множества G (a и b ) ставится в соответствие третий элемент из G: а b.

Множество элементов G с операцией называется группой , если удовлетворяются следующие условия.

Рассмотрим систему сравнений

Где f1(x), f2(x), …. , fs(x)€Z[x].

Теорема 1. Пусть M = - наименьшее общее кратное чисел m1,m2,…,ms . Если а удовлетворяет системе (2), то и любое число из класса а по модулю М удовлетворяет этой системе.

Доказательство. Пусть b€ классу а. Так как а ≡ b(mod M), то а ≡b(mod m), i= 1,2,...,s (свойство сравнений 16). Следовательно, b, как и а, удовлетворяет каждому сравнению системы, что и доказывает теорему. Поэтому естественно считать решением системы (2) класс по модулю М.

Определение. Решением системы сравнений (2) называется класс чисел по модулю М = , удовлетворяющих каждому сравнению системы.

12. Сразу заметим, что нечётные числа не удовлетворяют второму сравнению. Взяв чётные числа из полной системы вычетов по модулю 12, непосредственной проверкой убеждаемся, что 2-му сравнению удовлетворяют числа 2, -2, 6, а система имеет два решения: х ≡ 2(mod l2), х ≡ -2(mod 12).

Рассмотрим систему сравнений 1-ой степени (3)

Теорема2. Пусть d=(m1,m2), М = .

Если с1 - с2 не делится на d, то система (3) не имеет решений.

Если (c1 -c2):d, то система (3) имеет одно решение - класс по модулю М.

Доказательство. Из 1-го сравнения x = c1+m1t, t€Z. Подставляем во 2-е сравнение: с1+ m1t ≡ c2(mod m2) или

m1t ≡ c2-cl (mod m2). Это сравнение имеет решение только если (с2 – с1): d.

И решение представляет собой класс по модулю (теорема 4 из §2).

Пусть решение , то есть , где k€Z.

M== , то есть x≡c1+m1t0(mod M) - решение

Примеры.

1. :2, система имеет одно решение класс по модулю 24. Из 1-го сравнения х =2+6t. Подставив вместо х во 2-е сравнение, имеем: 2 + 6t≡ 4(tnod 8); 6t≡ 2(mod 8); -2t≡2(mod8); t≡-1(mod 4); t=-1+4k; x=2+6(-1+4k); x=-4+24k, то есть x≡-4(mod 24).

2. 7-3 не делится на 3, система не имеет решений.

Следствие 1. Система сравнений (4)

Либо не имеет решений, либо имеет одно решение – класс по модулю M=.

Доказательство. Если система первых двух сравнений не имеет решений, то и (4) ие имеет решений. Если она имеет решение х ≡ a(mod), то, добавив к этому сравнению третье сравнение системы, получим снова систему вида (3), которая либо имеет одно решение, либо не имеет решений. Если имеет решение, то будем так продолжить, пока не исчерпаем все сравнения системы (4). Если решение есть, то это класс по модулю М.

Замечание. Здесь использовано свойство НОК: =.

Следствие 2 . Если m1,m2,…,ms попарно взаимно простые, то система (4) имеет одно решение - класс по модулю M=m1m2…ms.

Пример:

Так как модули попарно взаимно простые, система имеет одно решение - класс по модулю 105 = 5*3*7. Из первого сравнения

Подставляем во второе сравнение: 2 +5t≡ 0(mod 3) или 2t≡-2(mod3), t=-1+3k, x=2+5(-1+3k), x=-3+15k. Подставим в третье сравнение:

3+15k≡5(mod7), 15k≡8(mod 7), k=1+7l. тогда x=-3+15(1+7l); x=12+105l; x≡12(mod 105).

Познакомимся с другим способом решения этой системы, (Используем то, что система имеет одно решение.) Умножим обе части и модуль первого сравнения на 21, второго-на 35б третьего – на 15: из суммы первого и третьего вычтем второе:

(36 -35)х ≡ 75 + 42(modl05); x≡117(mod105); x≡12(mod105).

Рассмотрим теперь систему сравнений первой степени общего вида

Если некоторое сравнение этой системы не имеет решений, то и система не имеет решений. Если же каждое сравнение системы (5) разрешимо, то решим его относительно х и получим равносильную систему вида (4):

Где (теорема 4, §2).

По следствию 1 система либо не имеет решений, либо имеет одно решение.

Пример:

Решив каждое сравнение системы, получим равносильную систему

Эта система имеет одно решение - класс по модулю 105. Умножив первое сравнение и модуль на 3, а второе на 35, получим

Вычитая из второго сравнения первое, умноженное на 11, получаем 2х ≡-62(modl05), откуда х ≡ -31(modl05).

Задачи, сводящиеся к рассмотрению системы сравнений 1-ой степени, рассматривались в арифметике китайского математика Сун Тзу, жившего примерно в начале нашей эры. У него вопрос ставился в следующей форме- найти число, дающее заданные остатки при делении на заданные числа. Он даёт и способ решения, эквивалентный следующей теореме.

Теорема (китайская теорема об остатках). Пусть m1,m2,…,ms- попарно взаимно простые числа, М = mlm2...ms, β1, β2,…, βs подобраны так, что

Тогда решение системы

Будет иметь вид x≡x0(mod M).

Доказательство. Поскольку получим x0≡

Аналогичным образом проверяем, что x0≡c2(mod m2),…, x0≡cs(mod ms), то есть x0 удовлетворяет всем

сравнениям системы.

10. Сравнения 1-й степени. Неопределённые уравнения

§ 2. Сравнения 1-й степени. Неопределённые уравнения

Сравнение 1-ой степени может быть приведено к виду ax≡b(mod m).

Теорема 4. Если (a,m) = 1, то сравнение ах ≡b(mod m) (2) имеет единственное решение.

Доказательство. Возьмём 0,1,2,...,m-1 - полную систему вычетов по модулю m. Так как (а,m) = 1, то 0,а,2а,...,(m-1)а - тоже полная система вычетов (теорема 3, §2, гл 2.). В ней найдётся одно и только одно число, сравнимое с b по модулю m (принадлежащее тому же классу, что и b). Пусть это ах 0 , то есть ax 0 € классу b или ax 0 ≡b(mod m). x ≡x 0 (mod m) - единственное решение (2). Теорема доказана.

Теорема 5. Если (а, m)= 1, то решением сравнения ах≡b(mod m) является класс х 0 ≡a φ (m)-1 b(mod m).

Доказательство. Так как (a,m) = 1, то по т. Эйлерa а φ(m) ≡1(mod m). Легко видно, что x 0 ≡a φ (m)-1 b (mod m)- решение сравнения (2). Действительно,a(a φ (m)-1 b)≡a φ (m) b≡b(mod m). Из теоремы 4 следует, что это решение единственное.

Рассмотрим методы решений сравнения ах ≡b(mod m).

1. Метод подбора. Взяв полную систему вычетов по модулю m, выбираем числа, удовлетворяющие сравнению.

2. Использование теоремы Эйлера (теорема 5).

3. Метод преобразования коэффициентов. Надо попытаться преобразовать коэффициенты так, чтобы правую часть можно было бы разделить на коэффициент при х. Преобразования, о которых идёт речь, следующие: замена коэффициентов абсолютно наименьшими вычетами, замена числа b сравнимым по модулю числом (прибавлением числа, кратного модулю) с тем, чтобы последнее делилось на а, переход от а и b к другим, сравнимым с ними числам, у которых оказался бы общий делитель и т.п. При этом пользуемся свойствами сравнений и основанными на них теоремами о равносильных сравнениях.

1) 223x ≡ 115(mod ll).

Сначала заменим коэффициенты наименьшими по абсолютной величине вычетами: Зх ≡ 5(mod 11). Если воспользоваться теоремой

Эйлера, то

х≡3 φ(11)-1 *5=3 9 *5≡(3 3) 3 *5≡(27) 3 *5≡5 3 *5≡125*5≡4*5≡9(modll).

Однако проще преобразовать коэффициенты. Заменим сравнение равносильным, прибавив к правой части число, кратное модулю:

3x ≡ 5 + 22(mod 11). Разделив обе части на число 3, взаимно простое с модулем, получим х ≡ 9(mod l1).

2) 111x≡ 8(mod 34).

Используем метод преобразования коэффициентов.

(111-3*34)x≡8(mod 34), 9x≡8+34≡42(mod 34), 3x≡14(mod 34), 3x≡14+34≡48(mod 34), x≡16(mod 34).

Теорема 6. Если (a, m) = d и b не делится на d, то сравнение (1) не имеет решений.

Доказательство (от противного). Пусть класс x 0 - решение, то есть ax 0 ≡b (mod m) или (ax 0 -b):m, а, следовательно, (ax 0 -b):d. Но a:d, тогда иb:d - противоречие. Следовательно, сравнение не имеет решений.

Теорема 7. Если (a,m)= d, d>1, b:d, то сравнение(1) имеет d

решений, которые составляют один класс вычетов по модулю и находится по формулам

Где с удовлетворяет вспомогательному сравнению

Замечание. Согласно теореме сравнение (1) решается следующим образом.

1) Убедившись, что (a,m) = d, d> 1 и b:d, делим обе части в сравнения (2) на d и получаем вспомогательное сравнение a 1 x≡b 1 (mod m 1) , где . Сравнение имеет единственное решение. Пусть класс с – это решение.

2) Записываем ответ x 0 ≡c(mod m), x 1 ≡c+m 1 (mod m), x 2 ≡c+2m 1 (mod m), … , x d -1 ≡c+(d-1)m 1 (mod m).

Доказательство. Вспомогательное сравнение по теореме 2(3) равносильно исходному сравнению (2). Так как ( 1, То вспомогательное сравнение имеет единственное решение – класс по модулю m 1 = . Пусть x≡c(mod m 1) – это решение. Класс чисел с по модулю m 1 распадается на d классов по модулю m: .

Действительно, любое число из класса х0 по модулю m 1 имеет вид x 0 +m 1 t. Разделим t с остатком на d: t = dq +r, где 0≤r

Итак, сравнение (1) имеет d решений по модулю m: х0 , x0+m1,..., х0 +(d-1)m1.(сверху черточки горизонтальные)

Примеры.

1) 20x≡ 15(mod 108). Так как (20,108) = 4 и 15 не делится на 4, то решений нет.

2) 20x≡ 44(mod 108). (20,108) = 4 и 44:4, следовательно, сравнение имеет четыре решения. Разделив обе части и модуль на 4,получим:

5х≡11(mod 27); 5 x≡11-81 ≡ -70(mod27), х ≡ -14 ≡ 13(mod 27). Тогда х≡13 + 27r(mod 108), где г= 0,1,2,3. I jj

Ответ: x≡13(modl08); х ≡ 40(modl08); х ≡ 67(modl08); x≡94(modl08).

Применение теории сравнений к решению неопределённых уравнении

Рассмотрим неопределённое или, как его иначе называют, Диофантово уравнение первой степени с двумя неизвестными ах + by = с, где a,b,c€Z. Требуется решить это уравнение в целых числах. Если (a,b)=d и с не делится на d, то очевидно, чТО сравнение не имеет решений в целых числах. Если же с делится на d, ТО поделим обе части уравнения на d. Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда (а, b) =1.

Так как ах отличается от с на число, кратное b, то ах ≡ c(mod b) (без ограничения общности можно считать, что b > 0). Решая это сравнение, получим х ≡x1 (mod b) или x=x1+bt, где t€Z. Для определения Соответствующих значений у имеем уравнение а(х1 + bt) + by = с, откуда

Причём -целое число, оно является частным значением неизвестного y, соответствующим x1(получается, как и x1, при t=0). А общее решение уравнения примет вид систему уравнений x=x1+bt, y=y1-at, где t- любое целое число.

Заметим , что 1) уравнение ах + by = с можно было решать, начав со сравнения by ≡ c(mod а), так как by отличается от с на число, кратное а;

2)в качестве модуля удобнее выбирать наименьший из модулей а и b.

Пример , 50x – 42y= 34.

Разделим обе части уравнения на 2.

25х ≡ 17(mod2l); 4х ≡ 17 (mod 21) или 4х ≡ 17-21 ≡ -4(mod21).

х ≡ -1 (mod 21), то есть x=-1+21t, t€Z. Подставим найденное х в уравнение. 25(-1 + 21t)- 21y= 17; 21у =-42 + 25* 21t и у =-2 + 25t.

Сравнение чисел по модулю

Подготовила проект: Зутикова Ирина

МАОУ «Лицей №6»

Класс: 10«а»

Научный руководитель: Желтова Ольга Николаевна

Тамбов

2016

• Проблема
• Цель проекта
• Гипотеза
• Задачи проекта и план их достижения
• Сравнения и их свойства
• Примеры задач и их решения
• Используемые сайты и литература

Проблема:

Большинство учеников редко используют сравнение чисел по модулю для решений нестандартных и олимпиадных заданий.

Цель проекта:

Показать, как с помощью сравнения чисел по модулю можно решать нестандартные и олимпиадные задания.

Гипотеза:

Более глубокое изучение темы «Сравнение чисел по модулю» поможет ученикам решать некоторые нестандартные и олимпиадные задания.

Задачи проекта и план их достижения:

1.Подробно изучить тему «Сравнение чисел по модулю».

2.Решить несколько нестандартных и олимпиадных заданий, используя сравнение чисел по модулю.

3.Создать памятку для учеников на тему «Сравнение чисел по модулю».

4.Провести урок по теме «Сравнение чисел по модулю» в 10«а» классе.

5.Дать классу домашнее задание по теме «Сравнение по модулю».

6.Сравнить время выполнения задания до и после изучения темы «Сравнение по модулю».

7.Сделать выводы.

Прежде чем начать подробно изучать тему «Сравнение чисел по модулю», я решила сравнить, как она представлена в различных учебниках.

• Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс (Ю.М.Колягин и др.)
• Математика: алгебра, функции, анализ данных. 7 класс (Л.Г.Петерсон и др.)
• Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. 10 класс (Е.П.Нелин и др.)
• Алгебра и начала математического анализа. Профильный уровень. 10 класс (Г.К.Муравин и др.)

Как я выяснила, в некоторых учебниках эта тема даже не затрагивается, не смотря на углубленный уровень. А наиболее понятно и доступно тема представлена в учебнике Л.Г.Петерсона (Глава: Введение в теорию делимости), поэтому попробуем разобраться в «Сравнении чисел по модулю», опираясь на теорию из этого учебника.

Сравнения и их свойства.

Определение: Если два целых числа a и b имеют одинаковые остатки при делении на некоторое целое число m (m>0), то говорят, что a и b сравнимы по модулю m , и пишут:

Теорема: тогда и только тогда, когда разность aи bделится на m.

Свойства:

1. Рефлексивность сравнений. Любое число aсравнимо само с собой по модулю m (m>0; a,m-целые числа).
2. Симметричность сравнений. Если число a сравнимо с числом b по модулю m, то число b сравнимо с числом a по тому же модулю(m>0; a,b,m-целые числа).
3. Транзитивность сравнений. Если число a сравнимо с числом b по модулю m, а число b сравнимо с числом cпо тому же модулю, то число a сравнимо с числом c по модулю m(m>0; a,b,c,m-целые числа).
4. Если число a сравнимо с числом b по модулю m, то число a n сравнимо счислом b n по модулю m(m>0; a,b,m-целые числа;n-натуральное число).

Примеры задач и их решения.

1.Найти последнюю цифру числа 3 999 .

Решение:

Т.к. последняя цифра числа - это остаток от деления на 10, то

3 999 =3 3 *3 996 =3 3 *(3 4 ) 249 =7*81 249 7(mod 10)

(Т.к. 34=81 1(mod 10);81 n 1(mod10) (по свойству))

Ответ:7.

2.Доказать,что 2 4n -1 делится на 15 без остатка. (Физтех2012)

Решение:

Т.к. 16 1(mod 15), то

16 n -1 0(mod 15) (по свойству); 16n= (2 4 ) n

2 4n -1 0(mod 15)

3.Доказать, что 12 2n+1 +11 n+2 делится без остатка на 133.

Решение:

12 2n+1 =12*144 n 12*11 n (mod 133) (по свойству)

12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133

Число (11 n *133)без остатка делится на 133. Следовательно,(12 2n+1 +11 n+2 )делится без остатка на 133.

4.Найти остаток от деления на 15 числа 2 2015 .

Решение:

Т.к.16 1(mod 15), то

2 2015 8(mod 15)

Ответ:8.

5.Найти остаток от деления на 17 числа 2 2015 . (Физтех2015)

Решение:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

Т.к.16 -1(mod 17), то

2 2015 -8(mod 15)

8 9(mod 17)

Ответ:9.

6.Доказать, что число 11 100 -1 делится на 100 без остатка. (Физтех2015)

Решение:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (mod 100) (по свойству)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (mod 100) (по свойству)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (mod 100) (по свойству)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (mod 100)(по свойству)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (по свойству)

41*21 3 =41*21*441

441 41(mod 100) (по свойству)

21*41 2 =21*1681

1681 -19(mod 100) (по свойству)

21*(-19)=-399

399 1(mod 100) (по свойству)

Значит 11 100 1(mod 100)

11 100 -1 0(mod 100) (по свойству)

7.Даны три числа: 1771,1935,2222. Найти число, при делении на которое остатки трёх данных чисел будут равны. (ВШЭ2016)

Решение:

Пусть неизвестное нам число будет равно а,тогда

2222 1935(mod a); 1935 1771(mod a); 2222 1771(mod a)

2222-1935 0(moda) (посвойству); 1935-1771 0(moda) (по свойству); 2222-1771 0(moda) (по свойству)

287 0(mod a); 164 0(mod a); 451 0(mod a)

287-164 0(moda) (по свойству); 451-287 0(moda)(по свойству)

123 0(mod a); 164 0(mod a)

164-123 0(mod a) (посвойству)

41

Олимпиада ВШЭ2016

На n они дают одинаковые остатки.

Эквивалентные формулировки: a и b сравнимы по модулю n , если их разность a - b делится на n , или если a может быть представлено в виде a = b + k n , где k - некоторое целое число. Например: 32 и −10 сравнимы по модулю 7, так как

Утверждение « a и b сравнимы по модулю n » записывается в виде:

Свойства равенства по модулю

Отношение сравнения по модулю обладает свойствами

Любые два целых числа a и b сравнимы по модулю 1.

Для того, чтобы числа a и b были сравнимы по модулю n , необходимо и достаточно, чтобы их разность делилась на n .

Если числа и попарно сравнимы по модулю n , то их суммы и , а также произведения и тоже сравнимы по модулю n .

Если числа a и b сравнимы по модулю n , то их степени a k и b k тоже сравнимы по модулю n при любом натуральном k .

Если числа a и b сравнимы по модулю n , и n делится на m , то a и b сравнимы по модулю m .

Для того, чтобы числа a и b были сравнимы по модулю n , представленному в виде его канонического разложения на простые сомножители p i

необходимо и достаточно, чтобы

Отношение сравнения является отношением эквивалентности и обладает многими свойствами обычных равенств. Например, их можно складывать и перемножать: если

Сравнения, однако, нельзя, вообще говоря, делить друг на друга или на другие числа. Пример: , однако, сократив на 2, мы получаем ошибочное сравнение: . Правила сокращения для сравнений следующие.

Нельзя также выполнять операции со сравнениями, если их модули не совпадают.

Другие свойства:

Связанные определения

Классы вычетов

Множество всех чисел, сравнимых с a по модулю n называется классом вычетов a по модулю n , и обычно обозначается [a ] n или . Таким образом, сравнение равносильно равенству классов вычетов [a ] n = [b ] n .

Поскольку сравнение по модулю n является отношением эквивалентности на множестве целых чисел , то классы вычетов по модулю n представляют собой классы эквивалентности; их количество равно n . Множество всех классов вычетов по модулю n обозначается или .

Операции сложения и умножения на индуцируют соответствующие операции на множестве :

[a ] n + [b ] n = [a + b ] n

Относительно этих операций множество является конечным кольцом , а если n простое - конечным полем .

Системы вычетов

Система вычетов позволяет осуществлять арифметические операции над конечным набором чисел, не выходя за его пределы. Полная система вычетов по модулю n ― любой набор из n несравнимых между собой по модулю n целых чисел. Обычно в качестве полной системы вычетов по модулю n берутся наименьшие неотрицательные вычеты

0,1,...,n − 1

или абсолютно наименьшие вычеты, состоящие из чисел

,

в случае нечётного n и чисел

в случае чётного n .

Решение сравнений

Сравнения первой степени

В теории чисел , криптографии и других областях науки часто возникает задача отыскания решений сравнения первой степени вида:

Решение такого сравнения начинается с вычисления НОД (a, m)=d . При этом возможны 2 случая:

• Если b не кратно d , то у сравнения нет решений.
• Если b кратно d , то у сравнения существует единственное решение по модулю m / d , или, что то же самое, d решений по модулю m . В этом случае в результате сокращения исходного сравнения на d получается сравнение:

где a 1 = a / d , b 1 = b / d и m 1 = m / d являются целыми числами, причем a 1 и m 1 взаимно просты. Поэтому число a 1 можно обратить по модулю m 1 , то есть найти такое число c , что (другими словами, ). Теперь решение находится умножением полученного сравнения на c :

Практическое вычисление значения c можно осуществить разными способами: с помощью теоремы Эйлера , алгоритма Евклида , теории цепных дробей (см. алгоритм) и др. В частности, теорема Эйлера позволяет записать значение c в виде:

Пример

Для сравнения имеем d = 2 , поэтому по модулю 22 сравнение имеет два решения. Заменим 26 на 4, сравнимое с ним по модулю 22, и затем сократим все 3 числа на 2:

Поскольку 2 взаимно просто с модулем 11, можно сократить левую и правую части на 2. В итоге получаем одно решение по модулю 11: , эквивалентное двум решениям по модулю 22: .

Сравнения второй степени

Решение сравнений второй степени сводится к выяснению, является ли данное число квадратичным вычетом (с помощью квадратичного закона взаимности) и последующему вычислению квадратного корня по данному модулю.

История

Китайская теорема об остатках , известная уже много столетий, утверждает (на современном математическом языке), что кольцо вычетов по модулю произведения нескольких взаимно простых чисел является

Рассмотрим сравнения первой степени вида

ax ≡ b(mod m),

Как решать такое сравнение? Рассмотрим два случая.

Случай 1. Пусть а и m взаимно просты. Тогда несократимая дробь m/a сама просится разложиться в цепную дробь:

Эта цепная дробь, разумеется, конечна, так как m/a - рациональное число. Рассмотрим две ее последние подходящие дроби:

Вспоминаем важное свойство числителей и знаменателей подходящих дробей: mQ n-1 -aP n-1 =(-1) n . Далее (слагаемое mQ n-1 , кратное m , можно выкинуть из левой части

сравнения):

-aP n-1 ≡ (-1) n (mod m) т.е.

aP n-1 ≡ (-1) n-1 (mod m) т.е.

a[(-1) n-1 P n-1 b] ≡ b(mod m)

и единственное решение исходного сравнения есть:

x ≡ (-1) n-1 P n-1 b(mod m)

Пример. Решить сравнение 111x ≡ 75(mod 322).

Решение. (111, 322)=1. Включаем алгоритм Евклида:

322=111 · 2+100

(В равенствах подчеркнуты неполные частные.) Значит, n=4 , а соответствующая цепная

дробь такова:

Посчитаем числители подходящих дробей, составив для этого стандартную таблицу:

Числитель предпоследней подходящей дроби равен 29, следовательно, готовая формула

дает ответ: x ≡ (-1) 3 ⋅ 29 ⋅ 75 ≡ -2175 ≡ 79(mod 322)

Случай 2. Пусть (a,m)=d . В этом случае, для разрешимости сравнения ax ≡ b(mod m)

необходимо, чтобы d делило b , иначе сравнение вообще выполняться не может.

Действительно, ax ≡ b(mod m) бывает тогда, и только тогда, когда ax- b делится на m нацело, т.е.

ax- b=t · m , t ∈ Z, откуда b=ax- t ⋅ m , а правая часть последнего равенства кратна d .

Пусть b=db 1 , a=da 1 , m=dm 1 . Тогда обе части сравнения xa 1 d ≡ b 1 d(mod m 1 d) и его модуль поделим на d :

xa 1 ≡ b 1 (mod m 1) ,

где уже а 1 и m 1 взаимно просты. Согласно случаю 1 этого пункта, такое сравнение имеет единственное решение x 0 :

x ≡ x 0 (mod m 1) (*)

По исходному модулю m , числа (*) образуют столько решений исходного сравнения, сколько чисел вида (*) содержится в полной системе вычетов: 0,1,2,..., m-2, m-1 . Очевидно, что из чисел x = x 0 + t ⋅m в полную систему наименьших неотрицательных вычетов попадают только x 0 , x 0 + m 1 , x 0 +2m 1 , ..., x 0 +(d-1)m 1 , т.е. всего d чисел. Значит у исходного сравнения имеется d решений .

Подведем итог рассмотренных случаев в виде следующей теоремы

Теорема 1. Пусть (a,m)=d . Если b не делится на d , сравнение ax ≡ b(mod m) не имеет решений. Если b кратно d , сравнение ax ≡ b(mod m) имеет d штук решений.

Пример. Решить сравнение 111x ≡ 75(mod 321) .

Решение. (111,321)=3 , поэтому поделим сравнение и его модуль на 3:

37x ≡ 25(mod 107) и уже (37,107)=1 .

Включаем алгоритм Евклида (как обычно, подчеркнуты неполные частные):

Имеем n=4 и цепная дробь такова:

Таблица для нахождения числителей подходящих дробей:

Значит, x ≡ (-1) 3 ⋅ 26 ⋅ 25 ≡ -650(mod 107) ≡ -8(mod 107) ≡ 99(mod 107) .

Три решения исходного сравнения:

x ≡ 99(mod 321), x ≡ 206(mod 321), x ≡ 313(mod 321) ,

и других решений нет.

Теорема 2. Пусть m>1, (a,m)=1 Тогда сравнение ax ≡ b(mod m) имеет решение: x ≡ ba ϕ (m)-1 (mod m) .

Пример. Решить сравнение 7x ≡ 3(mod 10) . Вычисляем:

ϕ (10)=4; x ≡ 3 ⋅ 7 4-1 (mod 10) ≡ 1029(mod 10) ≡ 9(mod 10) .

Видно, что этот способ решения сравнений хорош (в смысле минимума интеллектуальных затрат на его осуществление), но может потребовать возведения числа а в довольно большую степень, что довольно трудоемко. Для того, чтобы как следует это прочувствовать, возведите самостоятельно число 24789 в степень 46728.

Теорема 3. Пусть р – простое число, 0Тогда сравнение ax ≡ b(mod p) имеет решение:

где – биномиальный коэффициент.

Пример. Решить сравнение 7x ≡ 2(mod 11) . Вычисляем:

Лемма 1 (Китайская теорема об остатках). Пусть дана простейшая система сравнений первой степени:

где m 1 ,m 2 ,...,m k попарно взаимно просты. Пусть, далее, m 1 m 2 ...m k =M s m s ; M s M s ∇ ≡ 1(mod m s) (Очевидно, что такое число M s ∇ всегда можно подобрать хотя бы с помощью алгоритма Евклида, т.к. (m s ,M s)=1 ); x 0 =M 1 M 1 ∇ b 1 +M 2 M 2 ∇ b 2 +...+M k M k ∇ b k . Тогда система (*) равносильна одному сравнению x ≡ x 0 (mod m 1 m 2 ...m k) , т.е. набор решений (*) совпадает с набором решений сравнения x ≡ x 0 (mod m 1 m 2 ...m k) .

Пример. Однажды средний товарищ подошел к умному товарищу и попросил его найти число, которое при делении на 4 дает в остатке 1, при делении на 5 дает в остатке 3, а при делении на 7 дает в остатке 2. Сам средний товарищ искал такое число уже две недели. Умный товарищ тут же составил систему:

которую начал решать, пользуясь леммой 1. Вот его решение:

b 1 =1 ; b 2 =3 ; b 3 =2 ; m 1 m 2 m 3 , т.е. M 1 =35, M 2 =28, M 3 =20 .

т.е. M 1 ∇ =3, M 2 ∇ =2, M 3 ∇ =6. Значит x 0 =35 ⋅ 3 ⋅ 1+28 ⋅ 2 ⋅ 3+20 ⋅ 6 ⋅ 2=513. После этого, по лемме 1, умный товарищ сразу получил ответ:

x ≡ 513(mod 140) ≡ 93(mod 140),

т.е. наименьшее положительное число, которое две недели искал средний товарищ, равно 93. Так умный товарищ в очередной раз помог среднему товарищу.

Лемма 2. Если b 1 ,b 2 ,...,b k пробегают полные системы вычетов по модулям m 1 ,m 2 ,...,m k соответственно, то x 0 пробегает полную систему вычетов по модулю m 1 m 2 ...m k .